ヨーヨーの物理： 糸を引く加速度とヨーヨーの加速度

質問

こんにちは、勉強させて頂いております。
あるヨーヨーの物理に関する問題にであいまして、アドバイス頂きたいことがあり投稿しました。
添付の図をご覧下さい。半径r、質量mのヨーヨーがあり、簡単のため糸が巻いてある軸の半径もrとします。
ヨーヨーの中心の加速度をaとする場合にする場合に必要な、糸を引く加速度Aを求めよ、という問題です。

中心（重心）の並進運動、ヨーヨーの回転運動について運動方程式を立て、

ma = T – mg ….. (1)
Iα = rT …. (2)

I: 慣性モーメント = ½ mr^2
α： 角加速度 （未知数）
T: 張力 (未知数）
a: ヨーヨーの加速度 (既知、条件）

さらに、糸を引く加速度Aとa、αの関係が
rα　= A – a …. (3)
の関係にある、とのことが模範解答にありました。
しかしながら、この最後の(3)がなぜそう言えるのか、いわれてみればそうかも知れない、という程度でして、理由が明確に理解できずにおります。

たとえば、水平面を滑らずに転がっている円盤があるとして、その中心の
移動距離 = 回転距離（回転角度 [rad] x 半径）
となり、この両辺を時間で微分して、
V = rω
さらに微分して
a = rα
という流れは理解できるのですが、上の式(3)の導出の流れが分かりません。
どうか宜しくお願いします。

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

"相対加速度"を考えれば良いでしょう。

ヨーヨーの中心Ｏは、上向きに、大きさａの加速度運動をしています。
一方、ヨーヨーと糸との接点部分Ｐの加速度は、上向きに、大きさＡです。
∴Ｏから見たＰの加速度は、鉛直上向きにＡ－ａとなっているはずです。

ところで、Ｏから見るとヨーヨーの周縁部のＰは、回転していると見なせるはずです。
こう考えると、Ｐの、Ｏに対する相対加速度　Ａ－ａ（＝α）　は、回転の角速度の大きさでもあり、向きも、図の鉛直方向の向き＝接点の回転運動の回転の方向　でもあるわけで、
　ｒ・α＝Ａ－ａ
となります。

お礼

回答下さりありがとう御座います。完全に納得しました。とても分かり易い説明を下さり重ねてお礼申し上げます。

回答No.1

eatern27

ヨーヨーに巻き付いていない部分の糸の長さ＋ヨーヨーに巻き付いている部分の糸の長さ＝糸全体の長さ(一定)
という式を時間で二階微分したものが(3)式です。

>水平面を滑らずに転がっている円盤があるとして、
そういう例で言えば、水平面も動いていると思った場合と考え方は一緒ですね。

お礼

回答下さいましてありがとう御座いました。
助かります。