剛体振り子の運動方程式について

質問

閲覧ありがとうございます。
現在理系で学習を進めている大学1年生の者です。

剛体振り子の問題が解けなくて行き詰っています・・

画像の問なのですが、
(1)は棒が一様=重心が中点=慣性モーメントは1/12(ml^2)であってるのでしょうか？

(2)並進F=ma,　回転　Iβ(角加速度)=N に代入すると思うのですが
並進 ma=(-mgl/2)sinθ　　回転 Iβ=(-mgl/2)sinθとなってしまい、特に並進運動の部分がよく分からないです・・・

(3)はθの関数というのがピンとこないのですが、
sinθ=≒θとおいて
θ(t)=Asin(ωt+α)
の形にすれば良いのでしょうか？

どなたか御教授して頂けたら幸いです。

回答No.2

u962878k

(1)はそれで合ってます。

(2)の並進運動について
重心の座標(XG,YG)を使って力学的エネルギーを求めると(dXG/dt=XG’としますねYGも同様です）

運動エネルギーT=(1/2)m(XG’^2+YG’^2)
ポテンシャルU=mgYG

ラグランジアンL=T-U=(1/2)m(XG’^2+YG’^2)-mgYG

∂L/∂XG’=mXG’
∂L/∂XG=0

∂L/∂YG’=mYG’
∂L/∂YG=-mg

以上より(XG,YG)を使うと並進運動の方程式はこうなります
mXG’’=0　　　　　　(1)
mYG’’=-mg　　　　(2)

となります。

ここからXG=(L/2)sinθ
YG=-(L/2)cosθ
としてXG’’とYG’’をもとめて、XG’’*cosθ+YG’’*sinθ=(L/2)θ’’
また(1)と(2)からXG’’*cosθ+YG’’*sinθ=-gsinθ

以上よりθを使うと並進運動の方程式はこうなります
(L/2)θ’’=-gsinθ
(L/4)θ’’=-(L/2)gsinθ (3)

回転運動については重心回りではモーメントは働いていないので
(1/12)mL^2θ’’=0
(1/12)θ’’=0 (4)

(3)+(4)より
(1/3)θ’’=-(L/2)gsinθ
となります。
長文失礼しました。

回答No.1

NemurinekoNya

こんばんは。

☆(1)は棒が一様=重心が中点=慣性モーメントは1/12(ml^2)であってるのでしょうか？
◇はい。
　IG = ∫[-l/2,l/2]ρx^2dx = (1/12)ρl^3 = (1/12)(ρl)l^2 = (1/12)ml^2
ですね。
ρは線密度で、ρl = m。
∫[-l/2,l/2]は-l/2～l/2の定積分。

☆(2)並進F=ma,　回転　Iβ(角加速度)=N に代入すると思うのですが
並進 ma=(-mgl/2)sinθ　　回転 Iβ=(-mgl/2)sinθとなってしまい、特に並進運動の部分がよく分からないです・・・
◇I = IG + m(l/2)^2 = (1/3)ml^2
ですから、
　Iβ=(-mgl/2)sinθ
　(1/3)ml^2・β=(-mgl/2)sinθ　　　　　　（あ）

慣性モーメントI = IG + m(l/2)^2ですから、
運動方程式のIG・βは重心周りの運動をあらわし、
m(l/2)^2・βは重心の併進運動を表わしている、
ということを言えばよろしいのではないでしょうか。

☆(3)はθの関数というのがピンとこないのですが、
sinθ≒θとおいて・・・。
◇sinθ≒θとして、（あ）に代入すれば、
　(1/3)ml^2・β=(-mgl/2)θ
ですよね。
　β = d^2θ/dt^2 = θ''
なので、
　(1/3)ml^2・θ''=(-mgl/2)θ

あるいは、さらに整理して
　θ'' = -(3/2)・(g/l)θ

これは単振動の式ですよね。