複素数の問題

質問

∫[0→∞] log(x）/(x^2+a^2)^2 dx　（a>0)を求めよ。

答えはπ（log(a)-1)/4a^3なのですが解き方がわかりません。わかる方がいらっしゃいましたらご教授お願いします。

回答No.3

Ae610 · ベストアンサー

「複素数の問題」・・・と質問者が自分で言っているので、複素函数の事は知っているのであろうから・・・取り敢えず考え方のみ！

積分路Γをγ1；原点の周りを半径εでπ→0(時計回り)、
実軸上（－R→－εとε→R;0＜ε＜1＜R）
およびγ2；半径Rで0→π(反時計回り)で上半平面側に取る。
f(z) =log(z)/(z^2+a^2)^2 (z∈Ｃ)
∫[0→∞]{log(z)/(z^2+a^2)^2} dz
=∫[-R→-ε] + ∫[C1] + ∫[ε→R] + ∫[C2]
...に分けて留数定理によって積分を求める。
∫[C1] と∫[C2]の積分 = 0になるから
∫[-R→-ε]＋∫[ε→R] = 2πi・Res((z－ai)^2・f(z)；z=ai) (z=aiは2位の極)
・・・で計算出来る。
対数関数があるので分岐を考える必要がある。なので∫[ε→R]と∫[-R→-ε]とは同じ積分ではない。
一応当方でも計算してみたが、π（log(a)-1)/4a^3が得られた。

複素函数で計算したくなければ公式集などを当たってみる・・・！
公式集に頼るとすると・・・
∫[0→∞] {log(x)/(x^2+a^2)^2} dx
= {Γ(2－1/2)(√π)/(4・(2－1)!・a^(2・2－1))}・{2ln(a/2)－Ｃ－ψ(2－1/2)}
= {Γ(3/2)(√π)/4a^3}・{2ln(a/2)－Ｃ－ψ(3/2)}
= {((√π)/2)・(√π)/4a^3}・{2ln(a/2)－Ｃ－(－Ｃ + 2－2ln2)}
= (π/8a^3)・{2ln(a)－2}
= π・(ln(a)－1)/4a^3
（Ｃはオイラー常数、ψ(3/2)はオイラーのプサイ関数、Γ(3/2)はガンマ関数）

回答No.2

Ae610

ANo.1です。
ゴメンナサイ！（間違えました！）

∫[0→∞] {log(x)/(x^2+a^2)^2} dx　（a>0)
= π(log(a)-1)/4a^3
・・・でした。

回答No.1

Ae610

∫[0→∞] {log(x)/(x^2+a^2)^2} dx　（a>0)
= π(log(2a)-1)/4a^3
・・・だと思う。