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数学

わからない問題があります。 どなたか教えてください!!! ●未知関数y=y(t)に関する次の微分方程式を考える y'''-6y''+11y'-6y=0 初期条件: y(0)=0 y'(0)=0 y''(0)=1 (1)y(t)=t(y'',y',y)とおくと、y(t)'=Ay(t)であることを示せ。 このときA= 6 -11 6 1 0 0 0 1 0 (3×3の行列) (2)上の微分方程式を解け 問題の書き方がうまくなくてすみません… よろしくお願いします

みんなの回答

  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.2

(1)について y(t)=t(y'',y',y)であればy'(t)=t(y''',y'',y') 与式よりy'''=6y''-11y'+6y よって  y'''=6*y''-11*y'+6*y  y'' =1*y''+0 *y'+0*y y' =0*y''+1 *y'+0*y 右辺を書き換えて =|6 -11 6 | |y''|  |1 0 0 |* |y' | |0 1 0 | |y | 行列の掛け算です。 (2)について y'''-6y''+11y'-6y=0 y=e^(xt)とおくと y'=xe^(xt) y''=(x^2)*e^(xt) y'''=(x^3)*e^(xt) 与式に代入して{x^3-6x^2+11x-6}*e^(xt)=0 この式が成り立つためには x^3-6x^2+11x-6=0でなければならない。 これをxについて解くと 左辺は(x-1)(x-2)(x-3)と因数分解できるので x=1,2,3 よってyの一般解はy=Ae^(t)+Be^(2t)+Ce^(3t) となる。 次に初期条件よりA、B、Cを求める。 y(0)=0よりA+B+C=0 y'(0)=0よりA+2B+3C=0 y''(0)=1よりA+4B+9C=1 これを解いてA=0.5、B=-1、C=0.5 よって求める解はy(t)=0.5e^(t)-e^(2t)+0.5e^(3t) となる。

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noname#152422
noname#152422
回答No.1

(1)は本当にわからないのですか?

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