数学

質問

わからない問題があります。
どなたか教えてください！！！

●未知関数y=y(t)に関する次の微分方程式を考える
y'''-6y''+11y'-6y=0
初期条件： y(0)=0 y'(0)=0 y''(0)=1

(1)y(t)=t(y'',y',y)とおくと、y(t)'=Ay(t)であることを示せ。
このときA=
6 -11 6
1 0 0
0 1 0

(３×３の行列)

（２）上の微分方程式を解け

問題の書き方がうまくなくてすみません…
よろしくお願いします

回答No.2

yyssaa

(1)について

y(t)=t(y'',y',y)であればy'(t)=t(y''',y'',y')
与式よりy'''=6y''-11y'+6y
よって
　y'''=6*y''-11*y'+6*y
　y'' =1*y''+0 *y'+0*y
y' =0*y''+1 *y'+0*y
右辺を書き換えて
=｜6 -11 6 ｜ ｜y''｜　
｜1 0 0 ｜* ｜y' ｜
｜0 1 0 ｜　｜y　｜
行列の掛け算です。

(2)について
y'''-6y''+11y'-6y=0
y=e^(xt)とおくと
y'=xe^(xt)
y''=(x^2)*e^(xt)
y'''=(x^3)*e^(xt)
与式に代入して{x^3-6x^2+11x-6}*e^(xt)=0
この式が成り立つためには
x^3-6x^2+11x-6=0でなければならない。
これをxについて解くと
左辺は(x-1)(x-2)(x-3)と因数分解できるので
x=1,2,3
よってｙの一般解はy=Ae^(t)+Be^(2t)+Ce^(3t)
となる。
次に初期条件よりA、B、Cを求める。
y(0)=0よりA+B+C=0
y'(0)=0よりA+2B+3C=0
y''(0)=1よりA+4B+9C=1
これを解いてA=0.5、B=-1、C=0.5
よって求める解はy(t)=0.5e^(t)-e^(2t)+0.5e^(3t)
となる。

回答No.1

noname#152422

(1)は本当にわからないのですか？