数学の問題がわかりません。だれか教えてください。

質問

次の2次元微分方程式に対して以下の問いに答えなさい

ｘ’　＝　Ａ　ｘ　　　　　　　　　Ａ＝(　1　2　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　2　1　)　　　「Ａは２次正方行列です。」

（１）　行列Ａの固有値と固有ベクトルを求めよ

（2）解析行列　Ｒ（t , s ）　を求めよ。

という問題なのですが、解き方がわかりません。どうか教えてください。またこういった問題の参考になりそうなサイトがあったら、教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp

A=
(1,2)
(2,1)
行列Aの固有値は3,-1
(t(v,w)は(v,w)の転置)
固有値3に応ずる固有ベクトルをt(v,w)とすると
v=w
(v,w)=v(1,1)
t(v,w)=v{t(1,1)}
固有ベクトルはt(1,1)の任意実数v倍となる
固有ベクトルt(1,1)の大きさは
|t(1,1)|=√(1^2+1^2)=√2
だから
大きさが1でt(1,1)と同じ向きの
単位固有ベクトルは　v>0で
|v{t(1,1)}|=v√2=1
だから
v=1/√2
v{t(1,1)}=(1/√2)t(1,1)=t(1/√2,1/√2)
∴固有値3に応ずる単位固有ベクトルはt(1/√2,1/√2)

固有値-1に応ずる固有ベクトルをt(v,w)とすると
w=-v
(v,w)=v(1,-1)
t(v,w)=v{t(1,-1)}
固有ベクトルはt(1,-1)の任意実数v倍となる
固有ベクトルt(1,-1)の大きさは
|t(1,-1)|=√(1^2+(-1)^2)=√2
だから
大きさが1でt(1,-1)と同じ向きの
単位固有ベクトルは　v>0で
|v{t(1,-1)}|=v√2=1
だから
v=1/√2
v{t(1,-1)}=(1/√2)t(1,-1)=t(1/√2,-1/√2)
∴固有値-1に応ずる単位固有ベクトルはt(1/√2,-1/√2)

xを2次元ベクトルで
x'=dx/duとしたとき
2次元微分方程式
x'(u)=Ax(u)
の
解ベクトルは
x(u)=t(C1e^{3u}+C2e^{-u},C1e^{3u}-C2e^{-u})

回答No.1

muturajcp

A=
(1,2)
(2,1)
x'=Ax
(1)
Aの固有値をrとすると
|1-r,2|
|2,1-r|
=(1-r)^2-4
=r^2-2r-3
=(r-3)(r+1)=0
r=3又はr=-1
∴行列Aの固有値は3,-1
(t(v,w)は(v,w)の転置)
固有値3に応ずる固有ベクトルをt(v,w)とすると
(1,2)(v)=(3v)
(2,1)(w).(3w)
v+2w=3v
2v+w=3w
v=w
(v,w)=v(1,1)
∴固有値3に応ずる単位固有ベクトルはt(1/√2,1/√2)
固有値-1に応ずる固有ベクトルをt(v,w)とすると
(1,2)(v)=(-v)
(2,1)(w).(-w)
v+2w=-v
2v+w=-w
w=-v
(v,w)=v(1,-1)
∴固有値-1に応ずる単位固有ベクトルはt(1/√2,-1/√2)

(2)
L=
(1/√2, 1/√2)
(1/√2,-1/√2)
H=
(3, 0)
(0,-1)
x(u)=t(x1(u),x2(u))
z(u)=Lx(u)=t(v(u),w(u))
x'(u)=Ax(u)
とすると
x(u)=Lz(u)
z'(u)=Hz(u)=t(3v,-w)
v'/v=3
w'/w=-1
v=c1e^{3u}
w=c2e^{-u}
x(u)=Lt(c1e^{3u},c2e^{-u})
C1=c1/√2
C2=c2/√2
とすると
解ベクトルは
x(u)=t(C1e^{3u}+C2e^{-u},C1e^{3u}-C2e^{-u})

お礼

解答ありがとうございます。申し訳ないのですが自分の理解力が足りなく、
v+2w=3v
2v+w=3w
v=w
(v,w)=v(1,1）から固有値3に応ずる単位固有ベクトルはt(1/√2,1/√2)
の求め方がよくわからないままです。できることなら、その部分を詳しくお願いします。