数学の行列式の問題について
- 数学の行列式に関する問題を教えてください。質問者は行列式の求め方や固有値、固有ベクトルについておさらいしたいとしています。
- 問題は3次の正方行列についての問題で、行列の行列式、固有値、固有ベクトルを求めるものです。
- 質問者は行列式の求め方についての知識が曖昧なため、自分の解答に自信が持てない状況です。また、固有値の求め方や固有ベクトルの求め方についてもわからない状態です。
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数学の行列式の問題をおしえてください。
数学の行列式の問題をおしえてください。 数学の認定試験の過去問をやってるのですが、線形代数学がさっぱり覚えていません。 昔勉強に使っていたノートやプリントが無くなってしまってお手上げ状態です。 分かる方いましたら、よろしくお願いします。 問題は3次の正方行列について次の問に答えよ Ａ＝-1 2 1 0 3 1 0 0 2 （１）行列Ａの行列式を求めよ （２）行列Ａの固有値をすべて求めよ。 （３）行列Ａの固有ベクトルをすべて求めよ 以上の3問です。 （１）についてですが、確か1列目の先頭が「１」で以下のものが「０」である時、式を分解できたような気がするんですが、あってますかね.. （－１）｜ ３ １ ｜ ｜ ０ ２ ｜ たすき掛けをして、（－１）＊６＝－６ これで（１）はあってるでしょうか？ この自分の解答だと1行目の「２」と「１」が他の数字だったとしても、同じ回答になってしまうため、自分の解答に自信がありません。 （２）ですが 固有値を求める時は対角行列の値が１である場所をｘとして、それを行列Ａから引いた式＝０になるようなｘを求めたと思うんですが、以下の式を作った後の操作が分からず手詰まり状態です。 |x+1 -2 -1| |0 x-3 -1| =0 |0 0 x-2| 2*2の行列式ならｘについて解けそうなんですが、3*3の行列 どうすれば、xを求められるんでしたっけ？ （３）ですが、（２）で求めた固有値を使って求めたと思うんですが、正直よく覚えていません。 （QEーA）ｘ＝０になるような式があったような気がしますが... ほとんど、丸投げ状態で申し訳ありませんが、ご協力よろしくお願いします。
- mpokkuru
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- 数学・算数
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(1) >（－１）｜ ３ １ ｜ > ｜ ０ ２ ｜ >たすき掛けをして、（－１）＊６＝－６ >これで（１）はあってるでしょうか？ 合っています。 >この自分の解答だと1行目の「２」と「１」が他の数字だったとしても、同じ回答になってしまう そう他の数字でも同じ解答になります。行列要素の中の2-1要素と3-1要素(1列目の２行目と３行目の要素)がゼロのため、１行目の1-2要素と1-3要素が何であっても同じ結果になります。 (2) (1)と同じように小行列に展開すれば良いです。 |x+1 -2 -1| |0 x-3 -1| |0 0 x-2| =(x+1)* |x-3 -1| |0 x-2| =(x+1)(x-3)(x-2)=0 x=-1,2,3 ←これが固有値 (3) 次式のtに(2)で求めた固有値を代入してこれを満たすXを求めればそれが固有ベクトルになります。 (tE-A)X~=0 または (A-tE)X~=0 X~はX=(x,y,z)の転置、Eは３ｘ３の単位行列です。 固有ベクトルの定数倍も固有ベクトルになりますので、固有ベクトルをすべての要素が簡単な比になるようにしたもの、あるいは、その任意定数倍したもので固有ベクトルを表します。 求めた結果は 固有値x=-1に対する固有ベクトルv1＝(1,0,0) または a(1,0,0) (aは任意定数) 固有値x=2に対する固有ベクトルv2＝(1,3,-3) または a(1,3,-3) (aは任意定数) 固有値x=3に対する固有ベクトルv2＝(1,2,0) または a(1,2,0) (aは任意定数) （以上は行ベクトルで固有ベクトルを書いてありますが、列ベクトルで書く場合もあります。問題の出題者の指示に従ってください。）
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- alice_44
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余因子展開は、いつでも使える技法だが、 今回は、A が上三角行列だから、その特徴を利用しよう。 三角行列の行列式は、対角成分の積に等しい。 よって、(1) も (2) も一気に暗算できる。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
info22_ (1) >（－１）｜ ３ １ ｜ > ｜ ０ ２ ｜ >たすき掛けをして、（－１）＊６＝－６ >これで（１）はあってるでしょうか？ 合っています。 >この自分の解答だと1行目の「２」と「１」が他の数字だったとしても、同じ回答になってしまう そう他の数字でも同じ解答になります。行列要素の中の2-1要素と3-1要素(1列目の２行目と３行目の要素)がゼロのため、１行目の1-2要素と1-3要素が何であっても同じ結果になります。 (2) (1)と同じように小行列に展開すれば良いです。 |x+1 -2 -1| |0 x-3 -1| |0 0 x-2| =(x+1)* |x-3 -1| |0 x-2| =(x+1)(x-3)(x-2)=0 x=-1,2,3 ←これが固有値 (3) 次式のtに(2)で求めた固有値を代入してこれを満たすXを求めればそれが固有ベクトルになります。 (tE-A)X~=0 または (A-tE)X~=0 X~はX=(x,y,z)の転置、Eは３ｘ３の単位行列です。 固有ベクトルの定数倍も固有ベクトルになりますので、固有ベクトルをすべての要素が簡単な比になるようにしたもの、あるいは、その任意定数倍したもので固有ベクトルを表します。 求めた結果は 固有値x=-1に対する固有ベクトルv1＝(1,0,0) または a(1,0,0) (aは任意定数) 固有値x=2に対する固有ベクトルv2＝(1,3,-3) または a(1,3,-3) (aは任意定数) 固有値x=3に対する固有ベクトルv2＝(1,2,0) または a(1,2,0) (aは任意定数) （以上は行ベクトルで固有ベクトルを書いてありますが、列ベクトルで書く場合もあります。問題の出題者の指示に従ってください。）
- kopanda116
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(1) mpokkuruの方法は，余因子展開を使っている方法ですね．一般的に行われます． det(Ａ)は６で良いです． 試しに，(2.1)成分で余因子展開すると，その部分がゼロになることが容易にわかります． (2) これは，(1)と同じように解けばよいです． ですので，固有方程式は， (x+1)*(x-3)*(x-2) なので，固有値は，-1, 3, 2ですね． (3) 固有ベクトルは， 固有値を定義の式に代入するとよいです． Ａｘ ＝ λｘ 不定な方程式を解くことになりますが， 3つの未知数のうち，1つを固定することで算出できます．
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