数学の行列式の問題をおしえてください。

質問

数学の行列式の問題をおしえてください。

数学の認定試験の過去問をやってるのですが、線形代数学がさっぱり覚えていません。
昔勉強に使っていたノートやプリントが無くなってしまってお手上げ状態です。
分かる方いましたら、よろしくお願いします。

問題は3次の正方行列について次の問に答えよ
Ａ＝-1 2 1
0 3 1
0 0 2

（１）行列Ａの行列式を求めよ
（２）行列Ａの固有値をすべて求めよ。
（３）行列Ａの固有ベクトルをすべて求めよ

以上の3問です。

（１）についてですが、確か1列目の先頭が「１」で以下のものが「０」である時、式を分解できたような気がするんですが、あってますかね..
（－１）｜　３　１　｜
　　　　｜　０　２　｜
たすき掛けをして、（－１）＊６＝－６
これで（１）はあってるでしょうか？
この自分の解答だと1行目の「２」と「１」が他の数字だったとしても、同じ回答になってしまうため、自分の解答に自信がありません。

（２）ですが
固有値を求める時は対角行列の値が１である場所をｘとして、それを行列Ａから引いた式＝０になるようなｘを求めたと思うんですが、以下の式を作った後の操作が分からず手詰まり状態です。
|x+1 -2 -1|
|0 x-3 -1| =0
|0 0 x-2|
2*2の行列式ならｘについて解けそうなんですが、3*3の行列
どうすれば、xを求められるんでしたっけ？

（３）ですが、（２）で求めた固有値を使って求めたと思うんですが、正直よく覚えていません。
（QEーA）ｘ＝０になるような式があったような気がしますが...

ほとんど、丸投げ状態で申し訳ありませんが、ご協力よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
>（－１）｜　３　１　｜
>　　　　｜　０　２　｜
>たすき掛けをして、（－１）＊６＝－６
>これで（１）はあってるでしょうか？

合っています。

>この自分の解答だと1行目の「２」と「１」が他の数字だったとしても、同じ回答になってしまう

そう他の数字でも同じ解答になります。行列要素の中の2-1要素と3-1要素(1列目の２行目と３行目の要素)がゼロのため、１行目の1-2要素と1-3要素が何であっても同じ結果になります。

(2)
(1)と同じように小行列に展開すれば良いです。

|x+1 -2 -1|
|0 x-3 -1|
|0 0 x-2|
=(x+1)*
|x-3 -1|
|0 x-2|
=(x+1)(x-3)(x-2)=0
x=-1,2,3 ←これが固有値

(3)
次式のtに(2)で求めた固有値を代入してこれを満たすXを求めればそれが固有ベクトルになります。
(tE-A)X~=0　または (A-tE)X~=0
X~はX=(x,y,z)の転置、Eは３ｘ３の単位行列です。
固有ベクトルの定数倍も固有ベクトルになりますので、固有ベクトルをすべての要素が簡単な比になるようにしたもの、あるいは、その任意定数倍したもので固有ベクトルを表します。

求めた結果は
固有値x=-1に対する固有ベクトルv1＝(1,0,0) または a(1,0,0) (aは任意定数)
固有値x=2に対する固有ベクトルv2＝(1,3,-3) または a(1,3,-3) (aは任意定数)
固有値x=3に対する固有ベクトルv2＝(1,2,0) または a(1,2,0) (aは任意定数)
（以上は行ベクトルで固有ベクトルを書いてありますが、列ベクトルで書く場合もあります。問題の出題者の指示に従ってください。）

回答No.4

alice_44

余因子展開は、いつでも使える技法だが、
今回は、A が上三角行列だから、その特徴を利用しよう。
三角行列の行列式は、対角成分の積に等しい。
よって、(1) も (2) も一気に暗算できる。

回答No.3

info22_

info22_

(1)
>（－１）｜　３　１　｜
>　　　　｜　０　２　｜
>たすき掛けをして、（－１）＊６＝－６
>これで（１）はあってるでしょうか？

合っています。

>この自分の解答だと1行目の「２」と「１」が他の数字だったとしても、同じ回答になってしまう

そう他の数字でも同じ解答になります。行列要素の中の2-1要素と3-1要素(1列目の２行目と３行目の要素)がゼロのため、１行目の1-2要素と1-3要素が何であっても同じ結果になります。

(2)
(1)と同じように小行列に展開すれば良いです。

|x+1 -2 -1|
|0 x-3 -1|
|0 0 x-2|
=(x+1)*
|x-3 -1|
|0 x-2|
=(x+1)(x-3)(x-2)=0
x=-1,2,3 ←これが固有値

(3)
次式のtに(2)で求めた固有値を代入してこれを満たすXを求めればそれが固有ベクトルになります。
(tE-A)X~=0　または (A-tE)X~=0
X~はX=(x,y,z)の転置、Eは３ｘ３の単位行列です。
固有ベクトルの定数倍も固有ベクトルになりますので、固有ベクトルをすべての要素が簡単な比になるようにしたもの、あるいは、その任意定数倍したもので固有ベクトルを表します。

求めた結果は
固有値x=-1に対する固有ベクトルv1＝(1,0,0) または a(1,0,0) (aは任意定数)
固有値x=2に対する固有ベクトルv2＝(1,3,-3) または a(1,3,-3) (aは任意定数)
固有値x=3に対する固有ベクトルv2＝(1,2,0) または a(1,2,0) (aは任意定数)
（以上は行ベクトルで固有ベクトルを書いてありますが、列ベクトルで書く場合もあります。問題の出題者の指示に従ってください。）

回答No.1

kopanda116

(1)
mpokkuruの方法は，余因子展開を使っている方法ですね．一般的に行われます．
det(Ａ)は６で良いです．
試しに，(2.1)成分で余因子展開すると，その部分がゼロになることが容易にわかります．

(2)
これは，(1)と同じように解けばよいです．
ですので，固有方程式は，
　　　(x+1)*(x-3)*(x-2)
なので，固有値は，-1, 3, 2ですね．

(3)
固有ベクトルは，
固有値を定義の式に代入するとよいです．
　　Ａｘ　＝　λｘ
不定な方程式を解くことになりますが，
3つの未知数のうち，1つを固定することで算出できます．