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線形代数の固有値の問題です
vの転置行列をtvと表します。 問.v∈R3かつv≠0とし、a∈Rとして3次正方行列BをB=aE(3) + v*tvによって定める。 (1)Bvをaとvを用いて表すことによってvはBのある固有値に対する固有ベクトルであることを示し、vに対応するBの固有値をaとvを用いて表わせ。 (2)aはAの固有値であることを示し、aに対するBの固有空間はvで生成されるR3の部分空間の直行補空間であることを示せ。 という問題なんですが、固有ベクトルの定義に帰ってみて考えているのですが全然わかります。 tvがキーになっているように思います。 どなたか解説お願いします。
- mist55
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正直に、一般のw∈R^3に対して Bwを計算すると、Bw = a w + (v,w)vとなる （但し、(v,w)は標準内積）となるから、後は簡単だと思います (1) Bv = av + (v,v)vとなるから、あとはいいとおもいます (2) wがBの固有値aに対する固有ベクトル ⇔ Bw = aw だから、あとはこれを整理するだけ
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- tmppassenger
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> （２）の冒頭のAはAではなくBはです。 その誤字は既に加味して回答しています。
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そうですかありがとうございました
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お礼
ありがとうございました
補足
すいません誤字が２箇所ありました。 （２）の冒頭のAはAではなくBはです。 下から３行目「全然わかりません」です すいません。