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微分方程式の初期値問題に詰んでいます。解ける方、お願いします。
- 大学で微分方程式を取っている学生ですが、課題で詰んでしまいました。友人に頼るのではなく、ネット上で解答者を募集しています。
- 具体的には、2つの2階線形微分方程式の初期値問題を解く必要があります。初期条件は共にy(0)=1, y'(0)=1/2となっています。
- 問題の難しさは、基本解系の選び方が理解できていないことです。解答者からのアドバイスや定石を教えていただけると助かります。
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なんだか御託を並べていますが決まりきった定数係数の２階微分方程式、何をか悩まん。 a)d^2y/dt^2+2dy/dt+5y=0 特性方程式：t^2+2t+5=0 ⇒ (t+1)^2+4=0 ⇒ t=-1±2i よって一般解は y=ae^(-x)cos2x+be^(-x)sin2x 初期条件から係数a,bを定める。 y(0)=a=1 (1) y'=-ae^(-x)cos2x-ae^(-x)2sin2x-be^(-x)sin2x+be^(-x)2cos2x y'(0)=-a+2b=1/2 (2) (1)を(2)に代入して b=3/4 y=e^(-x)cos2x+(3/4)e^(-x)sin2x b)d^2y/dt^2－dy/dt－6y=0 特性方程式：t^2-t-6=0 ⇒ (t+2)(t-3)=0 ⇒ t=-2,3 よって一般解は y=ae^(-2x)+be^(3x) 初期条件から係数a,bを定める。 y(0)=a+b=1 (1) y'=-2ae^(-2x)+3be^(3x) y'(0)=-2a+3b=1/2 (2) (1)*2+(2): b=1/2, (1)へ代入して a=1/2 y=[e^(-3x)+e^(2x)]/2
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- f272
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じゃあ、これでも見て勉強してください。高校生用です。 http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/differ_eq2.htm ついでにこちらも見ておくと「問題に応じての基本解系の選び方」がわかるかもしれない。 http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/differ_eq1.htm http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/differ_eq3.htm
