数学の問題をご教授願いたいです。

質問

数βが有限の10進展開をもつならば、βのもう1つの10進展開がただ1つ存在し、それは循環節が9の循環小数であること以下のことを手がかりにを示せ。

β＝b．b_1b_2b_3…＝c．c_1c_2c_3…、0≦b_j≦9、 0≦c_j≦9、すなわち

β＝b＋Σ[j=1→∞](b_j/10^j)＝c＋Σ[j=1→∞](c_j/10^j)とする。

b≧１、c＝0ならば、b＋Σ[j=1→∞](b_j/10^j)≧１≧Σ[j=1→∞](c_j/10^j)で等号はb＝1、かつすべてのjについてb_j＝0でc_j＝9のとき、かつそのときに限ることを示せ。

という問題です。分かる頭の良い方いらっしゃいましたらご教授お願いしたいです

回答No.1

hrsmmhr · ベストアンサー

有限の１０進展開は適当なnに対して10^nをかけること（最小桁を整数になるまで１０をかけること）で
整数値になります。

問題は循環節で整数値になるとものが0.9999999...以外ないことを言えばいいです
具体的には引き算した時に
bi!=ciでb＋Σ[j=1→∞](b_j/10^j)-c＋Σ[j=1→∞](c_j/10^j)の各桁が０になることをかんがえると
引き算の桁下がりは上の桁の１しか引くことはないのでbi+10-ci=1→bi+10=ci+1でしかありえず
（桁下がりしないときは０にするためにはbi=ciになる）
ci<10でci+1が10を超えるのは9しかないということになります

お礼

丁寧に答えてくださってありがとうございました。