整数の問題

質問

10がmod p で原始根とします。
1/pを循環小数で表したとき,循環節の長さはp-1であることはわかったのですが,,1/pを循環小数に表したとき、循環節でもっとも多く現われる数の個数ともっとも少なく現われる数の個数の差は高々１だそうです。
どのような方針で証明をすればよいでしょうか？
1/7 , 1/17などを循環小数に表したときこの命題を満たしていたので、この命題は正しいだろうと思います。
よろしくお願いします。

回答No.2

totoro7683

まずは次のことに注意しましょう。
1からp-1までの整数のうち
区間[0,0.1p]に含まれる整数をa0個
区間[0.1p,0.2p]に含まれる整数をa1個
....
区間[0.8p,0.9p]に含まれる整数をa8個
区間[0.9p,p]に含まれる整数をa9個
とおくとaiが循環節に現れるiの個数を表しています。
p=7の場合はa0=0,a1=1,a2=1,a3=0,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0
循環節は１４２８５７だから合致します。
p=17の場合は
a0=1,a1=2,a2=2,a3=1,a4=2,a5=2,a6=1,a7=2,a8=2,a9=1
実際の循環節は
０５８８２３５２９４１１７６４７
となっています。
aを整数としてa<0.1p<a+1とすると
長さが0.1pの区間は少なくともa個の整数を含み、
多くてもa+1個の整数しか含まない。
従ってai=a または　a+1
p=7のときは0<0.7<1 より　ai=0 または　１
p=17のときは1<1.7<2　よりai=1または　2
これから循環節に現れる整数の個数の差は高々１である。

お礼

ありがとうございます。
おかげさまで、10がmod p で原始根となるｐについて、この命題を証明することができました。

回答No.1

take008

たとえば，1÷17 を筆算で書きます。
横線の下の数に注目します。
それに 10 をかけて 17 で割った数の整数部分が商の次の数字で，余りが次の横線の下の数です。
横線の下の数は 17 より小さくて，同じものが現れると以後循環します。
循環節が 16 ということは，横線の下に ｍ＝1～16 が1回ずつ現れたわけです。
ですから，商（循環節）に現れた数字を小さい順に並べ替えたものは，
ｍ＝1～16 に 10 を掛けて 17 で割った数の整数部分 [10ｍ/17]が順に現れます。
数字がほぼ均等に現れることは
ｙ＝[10ｘ/17]（0<ｘ<17）あるいは単に
ｙ＝10ｘ/17（0<ｘ<17）のグラフを描くとわかるでしょう。

なお，1/7 と 1/17 で正しかったから，すべての数で正しいだろうというのは無謀です。
せめて4桁くらいの数で試してほしかったです。
参考ＵＲＬの「循環小数」のプログラムで試してみてください。

参考URL：

http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Program/Console/