循環小数についての問題を教えてほしいです。

質問

1/7＝0.142857・・・　1/11＝0.09・・・　1/17＝0.0588235294117647・・・

で、循環節の前半分と後半分を加えると9が並ぶ、pが素数で、1/pの10進展開の循環節の長さが偶数ならば、循環節の前半分と後半分を加えると、9が並ぶことを示せ。という問題です。

よろしくお願いします；；

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

循環節の長さが2n桁であるとすると、問題の循環小数は

　　　1/p = ((10^(-m)){ (10^(-m)) ((10^n)A+B) (1/((10^(2n))-1)) + C}
ただし、
A, Bはn桁以下の自然数である。
Cはm桁以下の自然数

という格好をしている。ここでA,Bにはさらに以下の条件が付く：

　　　AとBの少なくとも一方は0ではなく、また「A=B=9がn個並んだやつ」ということもない。

∵もしそうなら1/pは無限小数にならないことになるから。
さて、最初の式の分母を払うと

　　　((10^(2n))-1)((10^m)-pC) = p (10^(-m)) ((10^n)A+B)

ここで ((10^(2n))-1) = (10^n)-1)((10^n)+1) なので

　　　((10^n)-1)((10^n)+1)((10^m)-pC) = p ((10^n)A+B)

右辺は((10^n)-1)の倍数。しかしpは素数なので((10^n)-1)の倍数ではない。従って右辺の((10^n)A+B)は((10^n)-1)の倍数である。つまり、

　　　(((10^n)-1)A+(A+B))は((10^n)-1)の倍数

である。一方、A, Bに関する条件から

　　　2＞(A+B)/((10^n)-1)＞0

従って、(A+B)/((10^n)-1)=1、つまり

　　　(A+B) = ((10^n)-1) = 9がn個並んだやつ

である。

補足

とても丁寧に回答してくださってありがとうございました。
えっと、追加で質問したいのですが、Cと10^(-m)がなんであるのかが分かりません。頭弱くてすみません。最初の式についてもう少し詳しく教えてください；

回答No.2

stomachman

ANo.1の

> Cと10^(-m)がなんであるのかが分かりません。

循環節が始まるところよりも左側にある（かもしれない）桁の部分ですよん。

お礼

ありがとうございました。すっごく面白かったです。こんな問題すぐわかるなんて天才なんじゃないですか？！