√5≡y (mod p )が解を持つための条件は？

質問

素数p に対し、√5≡y (mod p )　を　5≡y^2　(mod p )と定義したとき、√5≡y (mod p )が解を持つための必要十分な条件は p≡±1(mod 5)らしいのですが本当でしょうか？（必要あるいは十分だけ？）正しいときはどのように（あるいはどのような方針で）証明したらいいのでしょうか。また、参考文献があれば教えてください。

回答No.1

waseda2003 · ベストアンサー

pを法としてaが平方剰余に等しいとき，
ルジャンドル記号を用いて (a/p)=1 と表し，
平方非剰余であるとき (a/p)=-1 と表します。
奇素数p，qに対して，平方剰余の相互法則；

(p/q)(q/p)=(-1)^{(p-1)/2}*{(q-1)/2}

が成り立つことが知られてますから，
pが奇素数，q=5のとき

(p/5)(5/p) = (-1)^(p-1)=1

が成り立ちます。さらに，ルジャンドル記号の
定義より (p/5)^2=1 ですから，

(5/p) = (p/5)

であることがわかります。
平方数を5で割った余りは1^2，2^2，3^2，4^2を
直接調べればわかりますから，

5≡y^2 (mod p)が解を持つ
⇔ (5/p)=1
⇔ (p/5)=1
⇔ p≡±1 (mod 5)

が得られますね。
p=2のときは，既約剰余類がもともと1しかないので，
述べるまでもないでしょう。

平方剰余の相互法則については，剰余類を
扱っている整数論の本なら必ず載っていますので，
どれでもお好きなものをお選び下さい。
（例えば，
高木貞治（著）初等整数論講義，共立出版
A.ベイカー（著）初等数論講義，サイエンス社
など）

どの本でも，証明は少し長いです。
（したがって，ここでその証明をすべて述べるのは困難。）

お礼

とてもよく分かりました。ありがとうございます。
早速、高木貞治（著）初等整数論講義を入手しました。