バナッハ空間における証明問題

質問

Ｘをバナッハ空間とする。Ｍ⊂Ｘをその有界集合とする。β(Ｍ)を以下のように定義する。
　β(Ｍ)=inf{ε＞0 ΙＭは有限ε網をもつ}
このとき、β(B+C)≦β(B)+β(C)
が成り立つことを示せ。

（注）
ＭをＸの部分集合として、正数εが与えられたとき
　Ｍがε網であるとは、任意のx∈Ｘに対してあるz∈Ｍが存在して∥x-z∥＜εとできることであり、
　有限ε網とは要素数が有限のε網のことである。

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

まず念のため伺っておきたいのですが
B+CというのはもちろんB∪Cの意味ではなく、{b+c |b∈B,c∈C}の意味ですね。
（もっともB∪Cならば命題はほとんど自明ですが）

さて
β(B+C)≦β(B)+β(C) 　　　……(1)
を証明するためには

β(B)+β(C)＜rとなるような任意の実数rに対してβ(B+C)≦rとなる。　　……(2)

ということを示せばＯＫです。
なぜ(2)を示すと(1)を示したことになるのかわかりにくいかも知れませんのでそのことを先に解説しておきます。

もう少し一般的に、ある実数AとBに対し
(∀r∈Ｒ,(B＜r → A≦r)) ⇒ (A≦B)
つまりB＜rとなる実数rが必ずA≦rを満たすならば（つまり(2)の条件を満たすならば）A≦Bである（つまり(1)の条件を満たす）ことを示します。
これは対偶命題
A＞B ⇒ (∃r∈Ｒ,(B＜r かつA＞r))
を示せばＯＫです。
今、A＞Bとすると実数の性質よりA＞r＞Bとなるような実数rが存在します。すなわち
∃r∈Ｒ,(B＜r かつA＞r)は満たされています。　　　　　　　　　　■

さて、そこで(2)を示します。

（Ａ）
β(B)＜r_1,β(C)＜r_2となる任意の実数r_1,r_2を固定します。
すると定義より,Bの有限r_1網M_1と、Cの有限r_2網M_2が存在します。
このときM_1 ＋ M_2 ＝ {m_1 + m_2 |m_1∈M_1,m_2∈M_2}がB+Cの有限r_1+r_2網であることを証明します。

証明：任意のx∈B+Cに対し、あるb∈Bとc∈Cが存在してx＝b+cと書けます。
またM_1はBの有限r_1網,M_2はCの有限r_2網なので、あるm_1∈M_1,m_2∈M_2が存在して∥b - m_1∥＜r_1,および,∥c - m_2∥＜r_2,となります。
このときm_1 + m_2∈ M_1 ＋ M_2 であり、
∥x - (m_1 + m_2)∥＝∥b + c - m_1 - m_2∥＝∥b - m_1 + c - m_2∥
　　　　　　　　　　　　　　　　≦∥b - m_1∥ + ∥c - m_2∥＜r_1 + r_2
となるのでM_1 ＋ M_2はB+Cのr_1+r_2網になります。
M_1 ＋ M_2が有限集合であることは明らかですね。従ってM_1 ＋ M_2はB+Cの有限r_1+r_2網になります。

（Ｂ）
（Ａ）より,β(B)+β(C)＜rとなるような任意の実数rに対してB+Cの有限r網が存在することがわかります。
（p＝r - β(B)+β(C), r_1＝β(B)+ (p/2),r_2＝r - r_1 とすればr_1+r_2＝rであり（Ａ）に帰着する）
従って定義よりβ(B+C)≦rです。　　
すなわち(2)が示せたので当初の目標である(1)が示せたことになります。　　　　　　　　　　　　■

＊ roro02さんへ宿題
バナッハ空間に関するこの種の問題を考える時には、Ｘが本当にバナッハ空間である必要があるのどうかということも考えてみて下さい。

この問題を記述するだけならばＸが線形空間かつノルム空間であることだけが必要であって、バナッハ空間であることは必要としていません（バナッハ空間は単なる線形ノルム空間であるだけでなく、ノルムに対する完備性も要求されます）

さらに、御覧のように証明の中でもＸのノルムに対する完備性は利用していません。（実数の完備性は利用しています。ノルムを用いることの大きな利点は、元の空間が完備性を持っていなくてもノルムを通じて実数の完備性を利用できることです）
すなわちこの命題はＸがバナッハ空間でない一般の線形ノルム（位相）空間でも成り立ちます。

いずれもっと勉強を進めていけば「どうしても」バナッハ空間でないとうまくいかないような（有用な）定理がたくさん登場してくる筈です。そのあたりを考えて"なぜ”（単なる線形ノルム空間ではなく）バナッハ空間という概念が有用なのか?ということにも思いを馳せてみて下さい。

お礼

回答ありがとうございます。

とても納得がいく美しい回答だと思います。

宿題の部分は、ありがたいアドバイスとして受け止めます。助言までしていただいてありがとうございました。

補足

>B+CというのはもちろんB∪Cの意味ではなく、{b+c |b∈B,c∈C}の意味ですね。
ご指摘の通りです。注につけ忘れてしまいました。