レポートが分からないので困っています。助けてくだい

質問

水平で摩擦のない机に置かれたバネ定数k(N/m)のバネがある。バネの一方の端は壁面に固定され、もう一方の端には質量m(kg)のボールがつながれている。バネが自然長の時のボールの位置をx＝０とし、バネが伸びる方向を正として測ったボールの位置をx(m)とする。空気抵抗は無視できるものとする。
(１)ボールをx＝０からx０まで静かに動かしたとき、あなたがした仕事Wを求めたい。
(２)ボールをx０まで運んでる間、あなたの力fとバネの力kxは釣り合っていた。
(３)よってあなたがした仕事W＝∫x０から０fdx＝∫x０から０kxdx＝□
(４)あなたの仕事によりバネにはWだけのエネルギーが蓄えられた。
(５)時刻ゼロにあなたはボールから手を離し、x＝x０より初速度ゼロでボールを運動させた。
(６)運動方程式は□、ただしw＝□
(７)(６)の運動方程式を(５)の初期条件のもとに解くと、ボールの位置x＝□となる。
(８)(７)のxを時間微分し、ボールの速度v＝□となる。
(９)全エネルギーEを求めよ。

回答No.1

gtmrk

こんばんは。

答えを知るだけでは意味がありませんから、
ご自分で理解しながら解いてみることをお勧め致します。
ものの30分もあれば解けるはずです。

まずはばねの弾性力の向きなどをしっかり考えましょう。
●　位置 x > 0 の位置にいるとき、ばねは縮もうとしますから、弾性力は負の向きです。
●　位置 x < 0 の位置にいるとき、ばねは伸びようとしますから、弾性力は正の向きです。
よって、ばねの弾性力は常に位置 x とは『逆符号』とわかりました。

　(i)　　弾性力 F = -kx

です。また、『あなた』の力は常にこの弾性力と釣り合っていたのですから、
その大きさは弾性力と同じで、『向きが逆』です。よって、

　(ii)　　『あなた』の力 f = -F = kx

です。『仕事』は、力を距離で積分したものとして与えられますから、

　(iii)　　W = ∫ [0 → x0] f dx = ∫ [0 → x0] kx dx = ???

です。単なる１次式の定積分ですから、簡単に解けると思います。
これは項目(3)に相当する式ですが、積分範囲が逆のように見えます。
問題文を良く見直してみて下さい。
この W が『あなた が ボール に した』仕事ですから、
物体のエネルギーは W だけ増えることになります。

さて、運動方程式ですが、
ボールにはたらく力は(i)式ですでにわかっていますから、

　(iv)　　mx'' = -kx
　　　　　　⇔ x'' = -(k/m)x
　　　　　　⇔ x'' = -(ω^2)x

となるでしょう。
x', x'' はそれぞれ位置 x の１回微分、２回微分です。
単振動の場合 ω = √(k/m) と置くことが多いので、
項目(6)の『 w = □ 』というのはそれを意味しているのだと思います。
このように置くとよい理由は、(iv)を解いてみればわかります。
(iv)式は基本的な線形微分方程式ですから、その一般解は

　(v)　　x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)

という形で書けます。基本に忠実に解いてみて下さい。
A, B は任意の定数です。
また、ボールの速度 v(t) はこれの微分ですから、

　(vi)　　v(t) = x'(t) = - Aω sin(ωt) + Bω cos(ωt)

となります。初期条件は、問題文より

　(vii)　　x(0) = x0
　(viii)　　v(0) = x'(0) = 0

です。時刻 t = 0 のとき、初期位置 x0, 初速度 0 ということですね。
(v)(vi)式に t = 0 を代入して、(vii)(viii)式の右辺と結ぶことで
未知定数 A, B が決まるはずです。

というわけで、求めた A, B を(v)(vi)式に代入すれば、
x(t), v(t)の式の形が決定できます。
それらがすなわち項目(7)(8)の答えとなります。

全エネルギー E というのは… 力学的エネルギーのことですよね？
だとすれば当然この系のエネルギーは保存しますから、
最初に与えた W が E そのものです。

以上、（ほとんど答えに近い）ヒントでした。
頑張って下さい。