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三次関数
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- mister_moonlight
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関数f(x)=x^3-3/2(a+1)x^2+3ax-1 がx軸と異なる2つの共有点をもつと言う事は、グラフを書くと分かるだろうが、x軸で接して その他に1つ交点を持つ事を意味する。 x軸で接するのは、極大値=0、or、極小値=0 の時。 したがって、f´(x)=3(x-1)*(x-a)だから、f(1)=0、or、f(a)=0. f(1)=0の時は、a=1だから不適。 f(a)=0の時は、a^3-3a^2-2=(a-1)*(a^2-2a-2)=0. a-1≠0だから、a^2-2a-2=0を解くだけ。 >解答は、±√2になるらしいですが なりません、計算違いでしょう。
- gohtraw
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f(a)=0とおくと、f(1)=0なので、f(a)は(a-1)を因数としてもちます。よって f(a)=ー(a-1)(a^2+pa-2)/2 と表され、これを展開して係数を比較するとp=-2となります。よって f(a)=ー(a-1)(a^2-2a-2)/2 なので、f(a)=0を満たすaは1、1±√3 となります。あとはこれらのaの値を吟味すればokです。
- gohtraw
- ベストアンサー率54% (1630/2966)
この問題の場合、y=f(x)のグラフとx軸は一点で接し、一点で交わります。f(x)の導関数は 3x^2-3(a+1)x+3a=3(x-1)(x-a) となりますが、もしx=1のときにy=f(x)のグラフとx軸が接するとすると f(1)=1-3(a+1)/2+3aー1 =0 よりa=1となって題意に反し、x=aのときに両者が接することが判ります。そこで f(a)=0とおいてやるとaの三次方程式になるのでそれを解けばaの候補が求められます。 ここで、a<1であるならばf(1)<0でなくてはならず、a>1であるならばf(1)>0でなくてはならない(なぜそうなるかは、x軸と一点で接し、一点で交わる三次関数のグラフを書いて考えて下さい)ことからaの値の絞り込みができます。
a = 1±√3 になりませんか? (計算間違いしているかもしれませんが)
導関数を考えましょう. 単調増加ならば,x軸との公転は1つのみです. つまり,x軸との交点が2つあるということは,極大値,極小値をもつということです. f ’(x)=0が必ず異なる2つの実解を持つということから,アプローチしてみましょう. そのとき,極大値や極小値を持つ時の,xを代入すると,f ’(x)=0となります. 頑張ってくださいね^^
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