二次関数

質問

整数係数の二次関数 y=ax^2-(a+2)x-1 のグラフはx軸と２つの共有点(α,0)、(β,0)をもち、
-1＜α＜0、2＜β＜3を満たす。
このとき、整数aの値を求めよ。

解答　a=2

場合わけして考えればよいのでしょうか。

途中計算なども含めて教えていただければありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ｆ（ｘ）＝ａｘ＾２－（ａ＋２）ｘ－１　とおきます。問題文から導かれるのは、
（１）ａ＞０の場合
ｆ（－１）＞０
ｆ（０）＜０
ｆ（２）＜０
ｆ（３）＞０

（２）ａ＜０の場合
ｆ（－１）＜０
ｆ（０）＞０
ｆ（２）＞０
ｆ（３）＜０

（３）ａ＝０の場合
ｙ＝ｆ（ｘ）はｘの一次関数となり、そのグラフはｘ軸とただ一点で交わることになり題意に反するのであ＝０ではありえない

（１）と（２）がなぜそうなるのかは、実際に紙に図を書いて考えてみて下さい。
あとは（１）と（２）で挙げた連立不等式を解けば終了です。（１）であれば
ｆ（－１）＝ａ＋（ａ＋２）－１＝２ａ＋１＞０
ｆ（０）＝－１＜０
ｆ（２）＝４ａー２（ａ＋２）－１＝２ａー５＜０
ｆ（３）＝９ａ－３（ａ＋２）－１＝６ａー７＞０
といいう具合に計算して、全てを満たす整数を探すことになります。

お礼

分かりやすい解説をありがとうございました！
gohtrawさんのおかげで、解くことができました。

回答No.2

mister_moonlight

2次関数が、上に凸か　下に凸か　わからないときは、どちらかにしてやると良い。

a≠0から　aで割って、1/a＝αとする。 y=0とすると、f(x)＝x＾2-(1＋2α)x-α＝0。
これが条件を満たすにはf(-1)＞0、f(0)＜0、f(2)＜0、f(3)＞0.
結果は　5/2＜α＜7／6　つまり　5/2＜1/a＜7/6　。
これを解くと　a(2a-5)＜0、a(6a-7)＞0だから　掛けると　(a＾2)*(2a-5)*(6a-7)＜0
a＾2＞0から　7/6＜a＜5/2　つまり　　a=2。

(注)
上に凸か　下に凸か　わからないときは　x＾2の係数で割って、下に凸にしてやる方法は　覚えて置いたらよい。

お礼

(注)で教えていただいた方法は
しっかり覚えておこうとおもいます！

自分にはgohtrawさんの解説があっているかと思い、
今回は上の解説をベストアンサーとさせていただきました。

でも、mister_moonlightさんの解法でも
解けるようになりたいと思います！
ありがとうございました＾＾