参考書に間違い（多分・・・）

質問

ある有名参考書に次のような（関数はもうすこしややこしいのですがそこは今はどうでもよいのでここでは単純化しています）問題がありました。
「２次関数 ｆ(x)=x^2+ax+a のグラフとｘ軸の共有点のｘ座標をα、βとするとき１≦α＜２≦βを満たすように、定数aの値の範囲を求めよ。」
この問題に対する解答として
「題意を満たすにはf(1)≧0かつf(2)≦0であればよい」
というようなことが書いてあったんですがこれは間違いではないでしょうか。このやり方だとα＝２で２≦βの場合が題意を満たすということになってしまいますが、それは１≦α＜２≦βのα＜２の部分に合致していないと思います。正しくは次のようにするのではないでしょうか。
「題意を満たすにはf(1)≧0かつ(f(2)＜0または(f(2)=0かつ軸がｘ＝２より左))」
注：上のカギカッコ内ではＡ∧(B∨(C∧D))という構造を示すために(）を使っています。

回答No.5

noname#33973 · ベストアンサー

#3です。
#3の補足を踏まえて再回答。

質問者さんのお考えが全面的に正しいです。
解説文の記述がどうこういう以前に、答えが違うわけですから^^;;

a=-3のとき、α=2，β=7　であって、１≦α＜２≦βという条件を満たしません。
よって、-2-√7≦a≦-3という解説の答えはマチガイです。

また、間違った結論を導く
「題意を満たすにはf(1)≦0かつf(2)≧0であればよい」
という記述も完全にマチガイ。

質問者さんはこのタイプの問題について十二分に理解されていると思います。
参考書の誤記述もよくあることですから、こういうときは自信をもって舌打ちしてやりましょう。

では。

お礼

kater_kurzaさんの仰るようにa=-3のときはα=2になってしまって題意を満たさないことは実は確認できたんですが、数学の参考書にただの誤植とも少し思えないような誤記述を見つけたのは初めてだったんで、少しでしゃばってしまいました。すいません。

それから、誤記述ってのはけっこうあるもんなんですかね？（ただの誤植ならまだしも・・・）

まあ、それはともかく丁寧なご返答ありがとうございました。

回答No.6

Quattro99

問題文の方が間違っているということもあるのでは？

×１≦α＜２≦βを満たすように
○１≦α≦２≦βを満たすように

補足

問題部分と解説・解答部分で計４回も「１≦α＜２≦β」という記述をしていること、その参考書がかなり有名・正統派であり、かつ私が持っているのは第３刷であることからただの誤植ではないかなと推測したんですが、確かに、Quattro99さんの仰るような誤植があったという可能性がいちばん高いかもしれませんね。

回答No.4

mirage70

２次関数ですから、判別式D=0を求められるときには、求めてみて、xの値が２以上であるなら、出題者のとおりのことがあります。
単純化した問題は誤っています。共通範囲が出てこないのではないですか?これでは、答えを出しにくいと思います。
単純化した問題で、考えるなら、
y1=-x^2のグラフと、y2=ax+aのグラフの交点を考えてみて下さい。

回答No.3

noname#33973

一般論としては、私は質問者さんの考え方が正しいと思います。

質問文を読んだ限りでは、解説文の書き方は不適切です。
質問者さんの書かれているように、
「題意を満たすにはf(1)≧0かつ(f(2)＜0または(f(2)=0かつ軸がｘ＝２より左))」
とするか、或いは
「題意を満たすにはf(1)≧0かつf(2)≦0であることが必要」
とすべきでしょう。

ただ、「関数はもうすこしややこしいのですが…」という部分がちょっと気になります。

例えば、
ｆ(x)=x^2+ax+a
であれば、f(2)=0　は明らかに不適です。
f(2)=0　⇒　a=αβ<0 ⇒　α，βは異符号

このように、係数の表現によっては取りうる係数が予め限られてきますから、それを踏まえた上で、
「題意を満たすにはf(1)≧0かつf(2)≦0であればよい」
と書かれている可能性はあると思います。

以上、ご参考までに。

補足

私が勝手に単純化した関数では都合が悪いようなのでと元のやつを書いておきます。
　２次関数はｆ(x)=-x^2+a^2 x+4a-2（-ｘ二乗+a二乗ｘ+4a-2）で、答は-2-√7≦a≦-3と書いてあります。私のやり方では答は-2-√7≦a＜-3になります。
　尚、ｘの２次の係数が元のでは負なので、こちらにあわせるなら上の質問文のf(1)≧0、f(2)≦0、f(2)＜0のところの不等号を全部ひっくり返すことになります。
　ですから、質問を最初から書き直すと次のようになります。

「２次関数 ｆ(x)=-x^2+a^2 x+4a-2 のグラフとｘ軸の共有点のｘ座標をα、βとするとき１≦α＜２≦βを満たすように、定数aの値の範囲を求めよ。」
この問題に対する解答として
「題意を満たすにはf(1)≦0かつf(2)≧0であればよい」
というようなことが書いてあったんですがこれは間違いではないでしょうか。このやり方だとα＝２で２≦βの場合が題意を満たすということになってしまいますが、それは１≦α＜２≦βのα＜２の部分に合致していないと思います。正しくは次のようにするのではないでしょうか。
「題意を満たすにはf(1)≦0かつ(f(2)＞0または(f(2)=0かつ軸がｘ＝２より左))」
注：上のカギカッコ内ではＡ∧(B∨(C∧D))という構造を示すために(）を使っています。

回答No.2

nmg

この問題の解き方は、αとβがX軸と交わる条件を別々に考えて、最後に条件を組み合わせたらいいと思います。

あと、X軸にはα(1≦X＜2)とβ(X≧2)の2点で交わるといっているので、α=2の場合を考える必要はないと思います。

αはX≦1でX軸と交わるのだから、f(1)≧0になります。
(α＜2の条件もこの式にはあてはまります)
βはX≧2でX軸と交わるのだから、f(2)≦0になります。

aの値をだそうとすると、問題が難しくなってくると思います。

最後に、参考書の答えから判断してしまったので、これであっているかはわかりませんが、考え方の参考にしてもらえるといいです。

回答No.1

timid_person

あなたが記載された問題および解答の内容を見ると、
「１≦α＜２≦βを満たす」ならば「f(1)≧0かつf(2)≦0であればよい」と受け取ることができます。

問題でαおよびβは「１≦α＜２≦β」を必ず満たしているわけですから、α＝２となることは有り得ません。
逆が真であるかどうかは考える必要はありません。

参考書の解説の通りで間違いないのではないでしょうか。