数学 微分と積分

質問

y=x^3+px^2+qxがある。y=f(x)のグラフは原点以外の点でx軸に接し、またこの関数の極小値は－４である。このとき、定数p,qの値を求めよ。

という問題なのですが、解説に、

原点以外のx軸との接点のx座標をa(aは０ではない）とすると、f(x)=x(x-a)^2とおける

とありました。
どこからf(x)=x(x-a)^2が来たのかわかりません。
わかるかたよろしくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

＞y=x^3+px^2+qx
y=f(x)とおくと、f(0)=0ですから、
方程式x³+px²+qx=0はx=0という解を持ちます。 … (1)
また、問題文に

＞y=f(x)のグラフは原点以外の点でx軸に接し
とありますので、
方程式x³+px²+qx=0は、x=0でない二重解x=aを持ちます。 … (2)

(1)(2)より、
f(x)=x(x-a)²とおくことができます。