L=9*(A^2)-2*(n+1)*Aについて

質問

任意の自然数ｎに対して、

　Ｌ＝９＊（Ａ＾２）－２＊（ｎ＋１）＊Ａ、とするとき

Ａを自然数の中から自由に選べるとき、Ｌを平方の数に必ずすることができるか

という質問をしたいです。

回答No.5

hrsmmhr · ベストアンサー

A=a^2b,9A-2(n+1)=bc^2(a,b,cは自然数)にならなくてはならなくて
2(n+1)=b(3a-c)(3a+c)と分解できます
n=1のとき
4=b(3a-c)(3a+c)ですが
b=1のとき(3a-c,3a+c)=(1,4),(2,2)でこのとき(a,b)=(5/6,3/2),(2/3,0)で自然数で成立せず
b=2のとき(3a-c,3a+c)=(1,2)で、このとき(a,b)=(1/2,1/2)で自然数で成立せず
b=4のとき(3a-c,3a+c)=(1,1)で、このとき(a,b)=(1/3,0)で自然数で成立しません

よって反例n=1が示されました。

回答No.4

hrsmmhr

#3です。間違えました、もういっぺん考え直します。

回答No.3

hrsmmhr

L=A{9A-2(n+1)}ですので
例えば9A-2(n+1)=Aを自然数Aで成り立たせるnがあるのなら（この場合n=4A-1で）成立します
でも問題は必ず平方数にできるか？ですので

もしLが平方数ならA=a^2b,9A-2(n+1)=ab^2（a,bは自然数）と書けるはずです、すると
2(n+1)=ab(9a-b)と書けますが
例えばn=1のとき2(n+1)=4ですが
ab(9a-b)の4近くの値を考えると、因数分解できるということはaもbも9a-bも自然数なので
a>=1,b>=1,9a-b>=1となり
更に上式を4にするためには少なくともa,b,9a-bの各因数は4は超えませんので
これらから、a,bが上式を満たせるかを考えますと
a=1とすれば4=b(9-b)でbに1,2,3,4を代入しても右辺は8,14,18,20となり等式は成立しません
a=2とすれば2=b(18-b)でbに1,2を代入しても右辺は17,32となり等式は成立しません
a=3とすれば4=3b(27-b)でbに1を代入しても右辺は78となり等式は成立しません
a=4とすれば1=b(36-b)でbに1を代入しても右辺は35となり等式は成立しません
従って、あるLを平方数にできないnの値1が示されたことになり、題意は満たせません。

回答No.2

noname#224896

L=9*(A^2)-2*(n+1)*A
＝9*(A^2) -2n*A -2
＝(3^2)*(A -n)^2 -9*n^2 -2
Ｌを平方の数にするには，
-9*n^2 -2 = 0でなければならない．

n^2 = -2/9
これを満たすには，nが虚数でなくてはならない．
即ち，任意の自然数nについて，
これは成立することが出来ない．

よって，任意の自然数n，Ａに対して，
Ｌ=9*(A^2)-2*(n+1)*Aと定義された，
Ｌを平方の数にすることは不可能である．　．．．（解答）
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以上です．

回答No.1

rinrin_ring

どうぞしてください♪