連続と平均について

質問

f(x)を、0≦x≦1のとき f(x)=x*x で、それ以外は未定義の部分関数とすると、f(x)は全単射ですよね。
なのに、なぜ ∫[0, 1]xdx ≠ ∫[0, 1]f(x)dx なんでしょうか?

(分かりにくくてすいません。 おおざっぱに言うと、0以上1以下の実数をもれなく1つずつ集めて各々にf(x)を適用したものは、やっぱり0以上1以下の実数をもれなく1つずつ集めたものなんだから、平均値は同じになりそうなものだが、どうしてそうじゃないのか、ということです。)

回答No.6

alice_44

有限の場合と無限の場合の出所は同じ。
測度論の入門をかじってみると、
Σ も積分の一種(数えあげ測度上の)である
ことが解って、∫ の話に統一できる。

本題に戻って、積分計算だけから説明するならば、
y = f(x) と置いて、∫ f(x) dx が
∫ y dx なのか ∫ y dy なのかを反省してみたら
よいのではないだろうか。
置換積分を試みると、尚よいと思う。

x と y の変域が共に [0,1] であるため、
そこを混同しやすくなっているのでは？

回答No.5

Tacosan

#2 をちょっと言い換える.

b と c がどちらも 0 でないときに, 「任意の a に対して ab = ac」と思っているなら「平均値は同じになりそう」だね.

回答No.4

Tacosan

「平均値」という確率論の用語を使っていながら「いきなり確率論の用語が出てくるのは、どうも腑に落ちません」とは, これいかに.

補足

すみません、勉強が足りませんでした。
数量が有限の場合の平均と、無限の場合の平均とで、出所が違うんですね。
(それもまた不思議というか、確率とは別々に考えてもいいんじゃないかという気はしますが……。
確率論にとっては重要な概念でも、他の、確率を使わないような分野からすると、議論の範疇ではない、といった感じなんでしょうか。)

回答No.3

alice_44

平均値 ∫[0,1] x dx を求めるときの x の密度関数は 1、
平均値 ∫[0,1] f(x) dx を求めるときの x の密度関数は f(x)/x で、
両者では、x の分布が異なっているからです。
変域だけ [0,1] で同じでも、分布関数が異なれば、平均値は異なります。

補足

「密度関数」や「分布」という言葉について調べてみましたが、確率論の用語なんですね。
alice_44さんが仰っていることは、たぶん真っ当なことだと思うんですが、いきなり確率論の用語が出てくるのは、どうも腑に落ちません。
もし煩雑でなければで構わないですが、確率論の用語や幾何学の用語 (「曲線」「面積」など) を用いない表現が可能であれば、そのような表現での追回答をお願いしたいです。
(あるいは「しかじかの理由で、確率論の用語を用いるのが自然なのだ」というような道理があれば、それを提示して頂けるのでも嬉しいです。)

回答No.2

Tacosan

長方形の面積が幅によらず高さのみで決まるんだったらあなたの思った通りなんだけどねぇ... と, ちょ～わかりにくく書いてみよう.

回答No.1

noname#141932

実際に書いてみ。初めは数値で後半は傾き。