δ（ｇ（ｘ））は定義されているの？

質問

Ｆ＝∫（－∞～∞）ｄｘ・ｆ（ｘ）・δ（ｇ（ｘ））
はｇ（ｘ）が１次多項式のときにはどうなるか分かりますがｇ（ｘ）が一般の関数のときにはどうなるか分かりません
多分定義次第だと思いますがどうなるのか教えてください

（１）
Ｆ＝∫（－∞～∞）ｄｘ・ｆ（ｘ）・δ（（ｘ－α）・（ｘ－β））　（α≠β）
は求まるのですか？
それは
Ｆ＝（ｆ（α）＋ｆ（β））/｜β－α｜ですか？
でなければ何ですか？
そもそも定義できるのですか？

（２）
Ｆ＝∫（－∞～∞）ｄｘ・ｘ＾α・δ（ｘ＾β）　（αとβは実数）
は求まるのですか？
求まるため定義できるためのαとβの条件は何ですか？
置換積分していいものですか？
求まるときにはＦはどのようになるますか？

（３）
Ｆ＝∫（－∞～∞）ｄｘ・ｆ（ｘ）・δ（ｇ（ｘ））
は求まるのですか？
求まるため定義できるためのｆ（ｘ）とｇ（ｘ）の条件は何ですか？
置換積分していいものですか？
求まるときにはＦはどのようになるますか？

（１），（２），（３）のどれでもいいので教えてください
お願いします

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

No.1の補足についてです。

１番目のは、δ(1/x)ってのがxが有限である限り0です。こいつはもやもやしますよね。
x=1/t
dx/dt = -(t^(-2))
とおいてみますと
F=∫t^(-m-2) δ(t) dt (t=-∞～∞)
ですからm≦-2の場合はF=0。
mが偶数でm>-2ですと超関数としてt^(-m-2)を扱う。これはt=0で普通の関数とは解釈できなくなり、-∞という値を取る。だからF=-∞です。
mが奇数でm>-2ですと、こいつは奇の超関数として扱うことができ、F=0。

２番目。
αが負の整数の場合はどうも具合が悪い。というのも超関数として1/(|x|^m)(m=1,2,...)を扱ってもなお、「δ関数の(m-1)階微分のC倍（Cは不定の定数）」という項を残した形、すなわち超関数の集合を表すものとしてしか解釈できないからです。
でも、それ以外の場合は怖くない気がします。
δ(x^2) = if |x^2|<ε then 1/(2ε) else 0
= if |x|<√ε then 1/(2ε) else 0
ですから
α=0であれば
F= 1/(2ε)∫ dx (x=-√ε～√ε)
= 1/√ε
だからε→0のときF=∞
α<0の時には、x=0において|x|^αは普通の関数とは解釈できなくなり、強いて言えば-∞の値を取るもんですから、Fも-∞に発散ですね。
0<αであれば
F= ∫(|x|^α)/(2ε) dx (x=-√ε～√ε)
= (1/ε) ∫(x^α) dx (x=0～√ε)
F= (ε^((α-1)/2)/(α+1)
となる。
α=1の場合、ε→0のときF=1/2
α>1であればε→0のときF=0
0<α<1であればε→0のときF=∞
となります。

勿論、δ関数をガウス関数の極限で定義しても同じ結論になるでしょう。でも、δ関数を細高い矩形関数で代用すると、積分範囲が必ずしも-∞～∞でなくても良くなる。それで扱いが楽です。

全然明解な説明になってませんで、すいません。超関数の「特異点」に色んなものを持ち込むのは結構怖いので、stomachmanは出来るだけ避けて通ってます。ですから自信なし、です。

補足

１番目の－ｍ－２＝０のときもＦ＝１にならずにＦ＝０なのですか？
－ｍ－２＜０でｍが奇数のときＦ＝０というのはちょっと勇気がいりますね
置換積分をしたとき０が分断されることが気になります

２番目はεでやっているので具体的で納得できそうですね
δ（ｘ＾２）の中が０から∞になっているのが少し気になりますが
α≠０でα＜１のときはとにかく±∞か無意味かのどちらかなのは多分はっきりしてると思いますね

確率密度関数のとき出てきそうなので質問したのですが
どうもありがとうございました

回答No.3

stomachman

No.2の補足についてです。

> １番目の－ｍ－２＝０のときもＦ＝１にならずにＦ＝０なのですか？

ここんところは仰るとおりF=1ですね。間違えました。

　mが奇数でm>-2の場合には奇関数の対称性があるから、0で分断されちゃうのを気にしないで0で良いと思いますよ。分断されちゃう範囲を正の無限小ξで表して、これがεとは無関係に決まると考えてみては如何？どの場合でも0になるでしょう。

お礼

すこしもやもやが残りながらももう少し考えれば
何となく納得できるかもしれません

どうもありがとうございました

回答No.1

stomachman

まず（３）
もしgが1:1対応、つまりg(x)の逆関数が存在するなら、xからgへの置換積分をすれば良い。そうは行かない場合に、δ関数を
δ(x) = if |x|<ε then 1/(2ε) else 0
と考えて、ε→0の極限を取って積分が収束するのなら問題なく扱えます。
Ｆ＝∫ f(x)δ(g(x))dx (x=-∞～∞)
= lim(ε→0) ∫ f(x)(if |g(x)|<ε then 1/(2ε) else 0)dx (x=-∞～∞)
　g(x)=0の解をα1, α2, ...., αnとして、gが解の近傍で微分可能で微係数≠0であれば、
x≒αk のとき、g(x) = g'(αk)(x-αk)
ですから、
x≒αk のとき、δ(g(x)) = δ(g'(αk)(x-αk))=(1/g'(αk))δ(x-αk)
と扱えます。ゆえに
F=Σf(αk)/g'(αk)　(k=1,2,...,n)
となる。
g(x)=0の解においてg'(x)=0になる時（いわゆる重解の時）には、f(x)がその解に於いて0でない限りは発散してしまいます。

（２）
f(x)=x^α（αは非整数）は、x<0のときにどうなるかはっきりしません。|x|^αだったら扱えます。
g(x)を変数変換したければ1:1対応になるようにさらにいじくっておかねばならず、|x|^βではなしに
g(x)=sgn(x)(|x|^β)
を考える必要がある。つまり
F = ∫(|x|^α)δ(sgn(x)(|x|^β)) dx
というのなら検討できそうです。

補足

欲張ったために話が発散してしまいました
どうも失礼しました
知りたかったのは

Ｆ＝∫（－∞～∞）ｄｘ・ｘ＾ｍ・δ（１／ｘ）　（ｍ：整数）
Ｆ＝∫（－∞～∞）ｄｘ・｜ｘ｜＾α・δ（ｘ＾２）　（α：実数）

が意味を持つｍ，αとそのときの値でした
εでやっても置換積分でやってもなにかもやもやが残るような気がします
もしよろしかったら明快な説明をお願いします