円の面積

質問

中学１年の娘の数学の問題です。
「同じ点Ｏを中心とする、半径３ｃｍと半径５ｃｍの２つの円があります。この２つの円の間にある部分の面積を、πを使って表しなさい」（２つの円の間というのはドーナツ状になっています）

普通の解答の出し方として、単純に半径５ｃｍの円の面積と３ｃｍの円の面積の差を求めればいいんですが、偶然に下記のような考え方での解答の出し方でも一致しているようです。

半径３ｃｍと半径５ｃｍの間には、２ｃｍの差があります。その場合、（５＋３）×２×πにすると１６πで答えが等しくなります。他にも半径４ｃｎと半径７ｃｍの円の間には３ｃｍの差がありますが、（４＋７）×３×πで３３πと答えが等しくなります。
これでは、円周を求めていることになるかと思うのですが。。。

どなたか、わかりやすい解説願います。

回答No.4

MarcoRossiItaly · ベストアンサー

既に出ている回答とは別の観点からお答えします。

ドーナツ状の図形に限らず、「一定の幅の道」があったら、質問者さんが発見されたのと同じ方法で面積が計算できることが知られています。
つまり、どんなに複雑な形状の道でも、その幅が一定であれば、

「道幅×道の中央に引いた線の長さ＝道の面積」

というふうに、面積が求まります。

お示しの問題の場合、「ドーナツ型の道の真ん中に引いた線」とは、「小さな円と大きな円の中間の大きさの半径を持つ円周」と一致します。
「中間の大きさの半径」とは、3cmの5cmの平均の長さのことですから、(3+5)/2cmとなります。
従ってこの中間の大きさの円周の長さは、公式により、

2π*(3+5)/2cm=(3+5)πcm

また、道幅は(5-3)cmですから、

(5-3)*(3+5)πcm

がドーナツ部分の面積となるのです。

お礼

回答ありがとうございます！
娘が一番納得した回答だったようです。
数学の式は、意味がある式なので、それがわからないと
だったのでとても助かりました！！

回答No.5

takaryu04

「２乗-２乗」は因数分解により「２数の差＊和」になります。差＊和は単位がcm*cmなのでcm^2で２次元量（面積）
なので円周は１次元量（長さ）なので異なります。

回答No.3

wje

中学１年生だと、因数分解は習っていないかもしれませんね。

５*５-３*３=(５+３)*(５-３)
７*７-４*４=(７+４)*(７-４)
です。*はかけ算です、見づらくてスミマセン。
イコールの右側にある式を展開することなら娘さんも習っているでしょうか。

偶然見付けた回答も、理屈が分かっていれば正解でしょう。

回答No.2

D-Matsu

別に円周を求めてる訳ではありません。直感的ではありませんが式の変形で説明可能です。

円１の半径をr1, 円2の半径をr2として考えます。

このとき、通常の回答では

r1^2 x π - r2^2 x π

となりますが、この式をπでくくって

(r1^2 - r2^2) x π

とすると、括弧内が因数分解により

(r1 + r2)(r1 - r2) x π

となる訳です。
まぁ中1だと因数分解はまだやってないはずですし、問題の意図的にもアウトではありましょう。

お礼

回答ありがとうございます。確かに因数分解には気づいていたんですが、どうして？っていうのの解説を知りたく...です。

回答No.1

kdaiki211

分かりやすいかの自信はありませんが...
2つの円の半径をa, b (a < b), 2つの円の面積の差をSとすると

S = πb^2 - πa^2 ←ここまではいいと思います. ^2というのは累乗で, 例えばb^2はb×bのことです.
= π(b^2 - a^2) ←πでくくります
= π(b - a)(b + a) ←因数分解します

さっきの例だと
a = 3, b = 5
なので

S = π(5 - 3)(5 + 3)
= (5 + 3) × 2 × π

もう一つの例だと
a = 4, b = 7
なので

S = π(7 - 4)(7 + 4)
= (7 + 4) × 3 × π

となります.

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。私も因数分解は頭に浮かんだのですが、娘の質問はどうして？というのがあるので、この事象についての解説がわかるとありがたかったです。