トイレットペーパーの芯が立つ確率

質問

サイコロを投げたとき一つの面が出る確率は1/6です。
ではトイレットペーパーの芯を投げて立つ確率はどの程度でしょうか？

回答No.5

noname#152422

空中でトイレットペーパーの芯をもち、その芯の2つの底面である円の中心同士を結んだ直線lを考え、lの向きが変わらないように地面に降ろしてそれが立つかどうか、と考えることにします。

lを含む平面Vを考えます。

2つの底面の中心と中心を結ぶ線分の中点を中心にして、回転軸がlに垂直でかつVに含まれるような回転を芯に施すと、Vと底面の2円との交点が丁度1点ずつになるような角度θに達します。

そのとき丁度芯はVによって面積が二等分される位置に来ているので、回転角φについて、0≦φ<θ、π-θ<φ<π+θ、2π-θ<φ≦2πのとき「芯が立つ」とみなし、θ<φ<π-θ、π+θ<φ<2π-θのとき芯は立たないとみなせます。

芯の中心に対する底面の一つの中心部分が動くときの球面上一様に確率が分布すると仮定すると、「芯が立つ」確率はその球面上の面積比を考えて(2π(1-cosθ)*2)/(4π)=1-cosθであると考えられます。

2番さんの資料によると、114/38=tan(π/2-θ)となるので、1-cosθ≒0.0513となって、20回に1回弱くらいということになります。

そっと置いた場合に比べて、投げた場合は何度か跳ね返ります。跳ねているうちに勢いがなくなってきて、あるときに立てなければその次に立てるほど勢いがないという場合を考えると、そっと置くより確率はうんと低くなるでしょうね。

お礼

芯の底面を地面に向けてそっと離した場合でさえ、1/20弱なんですね。
それこそ適当に投げてここ最近2回も立ったので、実はものすごい
低い確率の事象が起きたかもしれないですね。
ご回答ありがとうございます。