数学

質問

0<a<π/2　とする。
0≦x≦πにおいて二つのグラフy=cos(3x-a),y=cos3xの交点のx座標の最小値がπ/18となる時のaの値は？

という問題です。
答えでは、

0<a<π/2より、0<a/3<π/6である。
グラフの対称性より、y=cos(3x-a)とy=cos3xの交点のx座標の最小値がπ/18となるのは、
π/18=1/2*a/3
すなわち、a=π/3のときである。

となっていたのですが、π/18=1/2*a/3の、1/2が何処からでてきたのかがわかりません。
cos(3x-a)=cos3x　として、解いてみようと思ったのですが、
cos3(x-a/3)=cos3x　以降如何したらいいのかもわからないし・・・。
多分ここから、a/3　がでてきたんだろうなー・・・とも思うのですが、
やっぱり1/2ってなんだ？と。

すみませんが教えてください

回答No.3

eco1900 · ベストアンサー

・y＝cosθの「擬似的なグラフ」として黒い線分を見てください。

・これが、今回の問題のように「x軸方向にa/3」平行移動したとして、今度は赤い線分を見てください。

・丁度、移動前の「青い点は、赤い点まで」、「赤い点は、黄緑の点まで」それぞれ移動することはお分かりになるでしょうか。同時にそれらに連動して、点PはP’へと移動しますね。

・「グラフの対称性から、交点が中点？」という部分に、疑問を抱いているようなので、ちょっと見方を変えて、図形的に見てみましょう。

すると、移動の幅に関係なく「常に△PQP’は二等辺三角形」になりますよね。

つまり、頂点QよりPP’へ下した垂線は、常にPP’の中点となります。

・・・少しは疑問が晴れたなら幸いです^^A。

がんばって！

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お礼

何度も丁寧にありがとうございました！

なんとなく、わかった気がします。
凄いですね・・・これをパパッと試験の時に思い浮かべられる気がしません(苦笑

頑張ります。ありがとうございました。

回答No.2

eco1900

こんばんは。

疑問点の「1/2」ですが・・・グラフ化して二つの三角関数を視覚的にとらえると理解しやすいと思いますよ^^。

つまり、
　y＝cos(3x-a)　(1)　と　y＝cos3x　(2)　としてお話しすると

(1)は、(2)を　x軸の正方向へ「a/3」平行移動したものですよね。

この時、二つのグラフを一枚のグラフ用紙に書いてみるといいですよ。

つまり、例えば「(2)グラフ上の（０，１）の点（＝書き出し）が、x軸の正方向へ「a/3」だけ平行移動したので、
（0，1）→（a/3，1）へ移動したことになりますね。

その間に既に、(1)、(2)は交点を持っていることになり、その交点は、（0，1）と（a/3，１）の中点になっています。
（このことを、グラフの対称性から・・と解説では言っているんですよ^^）

お礼

ありがとうございます。

うーん・・・
どうしてグラフの対称性から、交点が中点になるのかがわかりません。
すみませんが、また教えていただけると助かります

回答No.1

noname#139365

おっしゃるように
y=cos(3x-a)=cos3(x-a/3)
なのでcos3xをa/3平行移動したものになります
またy=cos3xは左右対称です
y=cos(3x-a)とcos3xのグラフの交点は
y=1,-1の時の中点になります。1/2のところです
その最小値がπ/18なので最初の交点がπ/18になりますので
y=cos(3x-a)=1の時x=a/3
y=cos3x=1の時x=0
なので
x=a/3とx=0の中点が交点ということで
(1/2)×(a/3)=π/18
になります

グラフを書いてみるとわかりやすいかと・・

お礼

ありがとうございます。

>y=1,-1の時の中点になります。1/2のところです

どうして中点が交点だとわかるのですか？
グラフを書いてみても、解説に載っているグラフを見てもよくわかりません・・