この微分はどうやったのでしょうか

質問

突然、他のサイトからの引用で申し訳ないのですが、こちらをごらんいただければと思います。
http://www.cfv21.com/phys/nonunifcircmot.htm

このサイトでとてもよく勉強できそうなのですが、いかんせん、始めで躓いてしまいました。
添付の写真も最終式がどう導出されたのか、分かりません。
dx/dt　が、なぜか、dθ/dtに変わっています。そして、dθ/dtが最後に残っており、-rsinθと掛け算されていますが、、どういうことなのでしょうか。

サイトがすでに管理運営されていないようなので、こちらで皆さんにお知恵をいただければと思い、質問しました。とても基本的なことなのかもしれないのですが、どうかお教えください。宜しくお願いします。

回答No.3

Knotopolog · ベストアンサー

x ＝ r cosθ
y ＝ r sinθ

の式は，r が定数で，x と y と θ は，時間 t の関数です．つまり，実は，

x ＝ x(t)
y ＝ y(t)
θ＝θ(t)

なのです．ですから，導関数　dx/dt,　 dy/dt,　 dθ/dt　を詳しく書くと，実は，

dx/dt ＝ dx(t)/dt
dy/dt ＝ dy(t)/dt
dθ/dt ＝dθ(t)/dt

のことなのです．そこで，x ＝ r cosθ　について，dx/dt を計算すると，

dx/dt ＝ d( r cosθ)/dt ＝ r d(cosθ)/dt ＝ r (d(cosθ)/dθ)(dθ/dt)
＝ r (－sinθ)(dθ/dt)＝ －r (sinθ) (dθ/dt)

となります．つまり，カッコをはずして書けば，

dx/dt ＝ －r sinθ dθ/dt

と書けることになります．これは，y ＝ r sinθ　から，dy/dt を得る計算の時も同様です．

なお，上記の計算中の r d(cosθ)/dt＝r(d(cosθ)/dθ)(dθ/dt)　は，合成関数の微分法です．

お礼

ありがとうございました

回答No.4

alice_44

合成関数の微分を普通に適用すると
dx/dt = (dr/dt)cosθ - r(sinθ)(dθ/dt) になるはずですから、
dx/dt = - r(sinθ)(dθ/dt) と言われると、一瞬とまどいますね。
おそらく、dr/dt = 0 つまり r は一定という前提なのだと思います。
今、私の環境では、引用元のサイトが見られないのですが、
r が一定かどうか、文脈を確認してみてもらえませんか？

お礼

ありがとうございました。Rは一定となっております

回答No.2

178-tall

参考URL
>微分演算子の座標変換
の 2 次元版ですね。

参考URL：

http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/bibun.html

お礼

ありがとうございました

回答No.1

DJ-Potato

f(g(x))の微分は、そのまま微分×中身の微分、の公式じゃないですか？

お礼

ありがとうございました