微分の導出方法とは？
- 微分の導出方法について調べている中で、特定のサイトで気になる式の導出について学びたいと思っています。
- 特に、最終式の導出方法が分からず困っています。特に気になるのはdx/dtがdθ/dtに変わっていることと、式の最後にある-rsinθとの積についてです。
- サイトの管理運営がされていないため、皆さんにお知恵を頂きたいと思い、質問しました。微分の基本的な導出方法について教えていただけると助かります。
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この微分はどうやったのでしょうか
突然、他のサイトからの引用で申し訳ないのですが、こちらをごらんいただければと思います。 http://www.cfv21.com/phys/nonunifcircmot.htm このサイトでとてもよく勉強できそうなのですが、いかんせん、始めで躓いてしまいました。 添付の写真も最終式がどう導出されたのか、分かりません。 dx/dt が、なぜか、dθ/dtに変わっています。そして、dθ/dtが最後に残っており、-rsinθと掛け算されていますが、、どういうことなのでしょうか。 サイトがすでに管理運営されていないようなので、こちらで皆さんにお知恵をいただければと思い、質問しました。とても基本的なことなのかもしれないのですが、どうかお教えください。宜しくお願いします。
- jeccl
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質問者が選んだベストアンサー
x ＝ r cosθ y ＝ r sinθ の式は，r が定数で，x と y と θ は，時間 t の関数です．つまり，実は， x ＝ x(t) y ＝ y(t) θ＝θ(t) なのです．ですから，導関数 dx/dt, dy/dt, dθ/dt を詳しく書くと，実は， dx/dt ＝ dx(t)/dt dy/dt ＝ dy(t)/dt dθ/dt ＝dθ(t)/dt のことなのです．そこで，x ＝ r cosθ について，dx/dt を計算すると， dx/dt ＝ d( r cosθ)/dt ＝ r d(cosθ)/dt ＝ r (d(cosθ)/dθ)(dθ/dt) ＝ r (－sinθ)(dθ/dt)＝ －r (sinθ) (dθ/dt) となります．つまり，カッコをはずして書けば， dx/dt ＝ －r sinθ dθ/dt と書けることになります．これは，y ＝ r sinθ から，dy/dt を得る計算の時も同様です． なお，上記の計算中の r d(cosθ)/dt＝r(d(cosθ)/dθ)(dθ/dt) は，合成関数の微分法です．
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
合成関数の微分を普通に適用すると dx/dt = (dr/dt)cosθ - r(sinθ)(dθ/dt) になるはずですから、 dx/dt = - r(sinθ)(dθ/dt) と言われると、一瞬とまどいますね。 おそらく、dr/dt = 0 つまり r は一定という前提なのだと思います。 今、私の環境では、引用元のサイトが見られないのですが、 r が一定かどうか、文脈を確認してみてもらえませんか？
お礼
ありがとうございました。Rは一定となっております
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