波動方程式の極座標変換方法
- 化学系で数学が苦手な方へ:波動方程式(デカルト座標)を極座標に変換する方法を教えてください。
- シュレーディンガーの波動方程式における運動エネルギー演算子の一部分について、極座標変換をしたいですが、数学の知識が限られているため、具体的な方法がわかりません。
- 極座標(x=rsinθcosφ、y=rsinθsinφ、z=rcosθ)における波動方程式の偏微分を教えていただきたいです。高校レベルの数学知識しかありませんが、教えていただけると助かります。
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波動方程式(デカルト座標)を極座標に変換する方法
化学系で、あまり数学ができないので、得意な方に質問させていただきます。 シュレーディンガーの波動方程式で運動エネルギーの演算子の一部分 ∂^2ψ/∂x^2+∂^2ψ/∂y^2+∂^2ψ/∂z^2 がありますよね。(ψ:固有関数)↑固有関数ψをx、y、zについて2階偏微分したものの和 それを極座標x=rsinθcosφ、y=rsinθsinφ、z=rcosθ(←今教科書を持ってないので間違っているかもしれませんが、多分こんな感じ)で変換したいんですけど、xとyにはθとφについて2つ偏微分が書けるので、高校レベルの数学の知識しか持ってない私には変換ができません。 dψ/dx=dψ/dt×dt/dxぐらいが分かるレベルなので簡単に教えてくれればうれしいです。 皆さんよろしくお願いします。
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> x=rsinθcosφ、y=rsinθsinφ、z=rcosθ はそのとおりですね. 基本は ∂f/∂x = (∂f/∂r)(∂r/∂x) + (∂f/∂θ)(∂θ/∂x) + (∂f/∂φ)(∂φ/∂x) です(x の代わりに y,z としても同形). つまり,x の微小変化に対する f の微小変化分は, r を通じて現れる分,θを通じて現れる分,φを通じて現れる分, これらの和だということです. 要は上の式を繰り返し使うだけですが ∂^2 f/∂x^2 だと上の式を更に x で偏微分するわけで, 右辺第1項の偏微分のときは (∂f/∂r) を x で偏微分して (∂r/∂x) はそのまま (∂f/∂r) はそのままで (∂r/∂x) を x で偏微分 の2項の和になります. したがって ∂^2 f/∂x^2 = (∂^2 f/∂r^2)(∂^2 r/∂x^2) + (∂^2 f/∂θ^2)(∂^2 θ/∂x^2) + (∂^2 f/∂φ^2)(∂^2 φ/∂x^2) などどしちゃってはいけません. 過去にも同様な質問があります. http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=190707 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=162840 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=111144 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=110911 など,およびそれらの回答で紹介されているHPなどご覧下さい.
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あっ、同じような質問している人いますね。 おかげで助かりました、ありがとうございます。