- ベストアンサー
曲率に関する質問です。
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
tanθ= y' であれば tan(θ+dθ) = y' + (dy'/dx)dx になるのは自明だとしてもいいのでは？ y'の値は，その接線方向(dy'/dx)にdxだけ移動した分を加えてやればよいということです。
関連するQ&A
- 陽関数表示の曲率の求め方について
http://physics.thick.jp/Physical_Mathematics/Section3/3-7.html での説明で、下の画像の部分の変形方法がよくわかりません。
- ベストアンサー
- 物理学
- 曲率円の方程式
図のように y = x^2 において点(1,1) で接する曲率円の方程式を求めようとしているのですが、うまくいきません。 曲線 y = f(x) の曲率円の半径を R とすると 1/R = ( 1/(1+(dy/dx)^2)^(3/2) )(d^2y/dx^2) なので y = x^2 の曲率は f'(x) = dy/dx = 2x d^2y/dx^2 = 2 (dy/dx)^2 = 4x^2 より 1/R = 2/(1+4x^2)^(3/2) R = (1+4x^2)^(3/2)/2 したがって (1,1) で接する曲率円の半径は R = 5^(3/2)/2 また、f'(1) = 2 なので y = x^2 の (1,1) における接線の傾きは 2、法線の傾きは -1/2。したがって曲率円の中心(x0,y0)は x0 = 1 - (5^(3/2)/2)(2/√5) = 1 - 5^(3/2)・5^(-1/2) = -4 y0 = 1 + (5^(3/2)/2)(1/√5) = 1 + (5^(3/2)/2)・5^(-1/2) = 1 + 5/2 = 7/2 また R^2 = 5^3/4 = 125/4 なので x = 1 における y = x^2 の曲率円の方程式は (x+4)^2 + (y-7/2)^2 = 125/4 ・・・・・※ これでいい思ったのですが、正しくないようです。というのも (1,1) での※の陽関数表示は図より y = -√( 125/4 - (x+4)^2 ) となると思うのですが、x = 1 のときは y = -√(125/4 - 25) = -√( 125/4 - 100/4 ) = -5/2 となってしまいます。どこがおかしいのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2階微分d^2y/dx^2を詳しく教えてください
微分＝傾き＝tanθ＝dy/dxと言うのは入門書でなんとかわかったのですが 2階微分＝傾きの変化率（傾きの傾き）＝d^2y/dx^2 のこのd^2y/dx^2がなぜこうなるのかぜんぜんわかりません。 dy/dxがどう変化してd^2y/dx^2となるのか教えてください。 いろいろ本やネットで調べましたが傾き＝tanθ＝dy/dxまでは入門書でも 詳しく書かれているのですがd^2y/dx^2へはどの解説でもいきなり飛んでいってしまいます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 曲線の曲率の計算について
曲線の曲率の計算における過程で、(1/x^2)/((1+(1/x^2))^3/2)という計算なのですが、 結果はx/(x^2+1)^3/2となるらしいのですが、どう計算してこうなったのかわかりません。 ちなみにこれはf(x)=logxの曲率を求める過程ででてきたものです。 また、現状は曲率を求める公式に当てはめて値を求めているのですが、 曲率とはいったいなんなのかさっぱりわかりません。 インターネットで調べたところ曲率とは、ようするに物理などででてくる加速度みたいなもので 曲率半径は、ようするに円の半径のようですが、 なぜ加速度や半径と言わないで、わざわざ別の言葉で曲率という言葉を使うのでしょうか？ それから参考書をみてみると曲率の証明する過程で、 曲線r(t)=x(t)i+y(t)jの単位接線ベクトルはＴ＝dr/dsで与えられる。 ここでs=∫√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dtは曲線の長さであると書かれているのですが、 なんのことを言っているのかわっぱりわかりません。 イメージが出来ない感じです。 r(t)=x(t)i+y(t)jのところは曲線上の位置を表しているのかなとなんとなく理解できますが、 単位接線ベクトルや曲線の長さであるというところがわかりません。 どなたか教えてください。 わかりやすい回答お待ちしております。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分の話です。高校生です
僕はどうして微分を物理でするのか知りたいです。 それである本にのっていて読んだのですが、微分を使う意味というのがすこしわからなかったので質問します たとえば、v-tグラフでdv/dtといえば、接線の傾きをあらわしています。 「接線の傾き＝加速度a」の関係は素直に分かる。 と書いていたのですが、僕は素直に分かりません どうして「接線の傾き＝加速度a」の関係がなりたつのでしょうか？ x-tグラフなら接線の傾きがdx/dtは何をあらわすことになるのでしょうか？ ここで僕が思ったことはx-tグラフの接線の傾きdx/dtはx/t=ｖというのが成り立つからdx/dt=vとなるのでしょうか？ それだと物理で微分を使う意味ってあまり意味無くないですか？ 最初からs/tとすればいいので v-tグラフとはどういう意味ですか？ v=「比例定数」ｔとなるグラフのことでしょうか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 確認のための計算が正しいかどうかわかりません
ある本に従って、確認の計算をしています。 dY(t)/dt=(1/τ1)*[T(t-δ)-X(t-δ)]+γ*[dT(t-δ)/dt] ・・・<1>、 dX(t)/dt=(1/τ2)*[Y(t-ξ)-X(t)] ・・・<2> 上記の<1><2>式において、定数τ2のゼロの極限をとり、かつ、η=δ+ξとすると、 τ1*[dX(t)/dt]=[T(t-η)-X(t-η)]+γ*τ1*[dT(t-η)/dt] ・・・<3> という式が導出されると本に記述されています. そこで私は<2>式を Y(t-ξ)＝・・・ に変形して、τ2のゼロの極限、 lim(τ2→0)[Y(t-ξ)]=lim(τ2→0){X(t)+τ2*[dX(t)/dt]}=lim(τ2→0)X(t) ・・・<4> と導き出し、さらに、<1>式をt=t-ξと置き、<4>式から lim(τ2→0)[dY(t-ξ)/dt]=lim(τ2→0)[dX(t)/dt]=lim(τ2→0)(1/τ1)*[T(t-η)-X(t-η)]+γ*[dT(t-η)/dt] ・・・<5> この<5>式からlim(τ2→0)をはずし、両辺にτ1をかけることで、<3>式を導出しました. 私の導出方法は正しいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ナビエストークスについてです。
ナビエストークについてですが， P(x,y,z:t) q(x+dx,y+dy,z+dz:t+dt) のp-q間のＸ座標のみの速度変化を求めると (X,Y,Z)：(u,v,w)より du=(du/dt)dt+(du/dx)dx+(du/dy)dy+(du/dz)dz となりますよね そこで(du/dt)を求めて， (dx/dt)=u, (dy/dt)=v, (dz/dt)=w になりますよね (du/dt)=(du/dt)+u(du/dx)+v(du/dy)+w(du/dz) となりますよね， 同様にしてy,z成分を求めると X: (du/dt)=(du/dt)+u(du/dx)+v(du/dy)+w(du/dz) Y: (dv/dt)=(dv/dt)+u(dv/dx)+v(dv/dy)+w(dv/dz) Z: (dw/dt)=(dw/dt)+u(dw/dx)+v(dw/dy)+w(dw/dz) ですよね これらをベクトル演算子を用いると対流項は なんで(Vgard)Vになるのですか？ V(gradV)ならわからなくもないんですが．
- 締切済み
- 物理学
お礼
丁寧な回答、まことにありがとうございました。