数列がまったく解けません

質問

例題）ある規則にしたがって下のように数が並んでいるとき、第23番目の数はいくらか。
2,5,10,17,26,37,50・・・

こういったような、基本的な数列の問題が全く分かりません。上記の場合、{bn}: +3、+5、+7、+9・・・のように数が増えていっているのは分かりますが、なぜ、{bn}が3+(n-1)*2=2n+1、のようにすぐに出てくるのかわかりません。

できれば公式を使わずに解くやり方を教えてください、お願いします。

回答No.4

fushigichan · ベストアンサー

maijuinさん、こんにちは。
みなさんの詳しいご説明がありますが、

＞こういったような、基本的な数列の問題が全く分かりません。上記の場合、{bn}: +3、+5、+7、+9・・・のように数が増えていっているのは分かりますが、なぜ、{bn}が3+(n-1)*2=2n+1、のようにすぐに出てくるのかわかりません。

＞2,5,10,17,26,37,50・・・

まず、差を取るんですよね。
そうすると、
３，５，７，９，１１・・・
と、奇数になっていることが分かりますよね。
しかも、最初の項が３です。
これは、「３から始まって、２づつ増えている数列だ」
ということが分かります。

等差数列の公式から

bn=b1+(n-1)d
b1=3
d=2
を代入してみると
bn=3+(n-1)*2
bn=2n+1
のようになるんですね。

公式を使わないとすると、
b1=b1
b2+b1+d
b3=b2+d=b1+d+d=b1+2d
・・・
bn=b[n-1]+d=b1+(n-1)d

・・となって、結局、公式と同じ形が出てきますよね。
b1=3
b2=b1+d=3+2=5
b3=b2+d=b1+d+d=3+2+2=7
・・・
bn=b1+(n-1)d=3+(n-1)*2=2n+1
のようになります。

等差数列の一般項と、等比数列の一般項を求める公式だけは
覚えておかれたほうがいいです。頑張ってください。

お礼

ご回答ありがとうございました。

公式を使わず、といっても、結局は公式にいきついているんですね・・・。それなら簡単な公式ですし覚えたほうが得策ですね。

でも、公式にいきなりあてはめるのではなく、過程をひとつずつ書いていただいたことによって、なぜその公式へ導かれるのかがよく分かりました。そうやった理解を伴った記憶は定着が早いので、やはりいきなり覚えるよりはみなさんにひとつずつ処理していただいて本当によかったと思います。

本当にみなさんありがとうございました。

数学は高校以降、今まで素通りしてきましたが、改めて取り組み始めて、なんだかちょっとウキウキ気分です。

回答No.3

kbannai

私は高校教員なので職業柄、等差数列や等比数列、それに階差数列などの一般項や和の公式は覚えていますが、自分で問題を解くときには、公式から導いていますよ。

別にすぐに出てこなくてもいいのではないですか？ 時間がかかっても自分でじっくり考えて、納得できれば良いのではないでしょうか。私はこちらのほうが大事なことだと思います。

因みに私は毎年センター試験の問題が新聞に掲載されるときは、数列の問題から始めます。もちろん時間がかかります。

さて、この例題で使う知識は、等差数列の一般項と階差数列で、階差数列にはΣの計算が出てきます。

はじめに等差数列 3,5,7,9,… なのですが、一般項の公式がわからなくても、等差数列の定義がわかっていれば、{bn}が2n+1であることは、公差をd=2とすれば、以下のようにして求まります。

b1=3
b2=b1+d =3+1*2=5
b3=b2+d=(b1+d)+d=b1+2d =3+2*2=7
b4=b3+d=(b1+2d)+d=b1+3d =3+3*2=9
……
bn=3+(n-1)*2 ← 上の式から類推してみてください！

これが求まれば、次に例題の数列{an}の一般項は

an=a1+Σ bk (k=1,2,3,,,n-1)

なのですが、なぜn-1までの和を考えるのかは、＃1さんの回答のとおりです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
私が高校生のときも数列で躓いた覚えがあります。特に今となっては、高校生のときほど柔軟性がなく、スポンジが水を吸収するごとく理解する・・・、ということができなくなっており、ひとつひとつに悪戦苦闘です（涙

説明では、
b1=3
b2=b1+d =3+1*2=5
b3=b2+d=(b1+d)+d=b1+2d =3+2*2=7
b4=b3+d=(b1+2d)+d=b1+3d =3+3*2=9
の部分が詳細でたいへん分かりやすかったです。さすが教えることが仕事なだけはありますね！

Σにいたっては、また別の問題としてよくわからないので、またもっとレベルアップしたころに挑戦してみたいと思います・・・。

本当にありがとうございました。

回答No.2

Mell-Lily

数列
　3,5,7,9,…
は、初項が3で、公差が2の等差数列です。初項がa_1、公差がdの公差数列の一般項a_nは、
　a_n=a_1+(n-1)d
です。これは、教科書に説明されているでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
教科書を見てもイマイチわからなかったもので・・・。
でも、みなさんのご回答を見て、分かった気がします。
「気」だけではなく、ちゃんと租借して溜飲できるよう、演習問題をこなさねば、です。

回答No.1

mousengoke

{bn}は元の数列の階差数列ですよね?公式は使わずにですか?等差数列ですよ。

b_n-b_(n-1)=2
b_(n-1)-b_(n-2)=2
　　　:
　　　:
　　　:
b_2-b_1=2

上記のすべての式を足すと
b_n-b_1=2(n-1)
b_n=2(n-1)+b_1
b_n=2(n-1)+3
b_n=2n+1

お礼

ご回答ありがとうございます。
丁寧にひとつずつ過程を書いていただき、本当にありがとうございます。

{bn}は結局2n+1にいきつくんですね・・・。
でも、2n+1以外になる場合もありますよね？　そのときも
b_n-b_(n-1)=
b_(n-1)-b_(n-2)=
:
:
:

とやっていけばいいんですね。

本当にありがとうございました。