[高校地学]遠日点における公転速度の求め方

質問

ケプラーの法則に関する問題です。

惑星の軌道は楕円軌道であるとすると、
惑星が太陽の近くにきたとき(近日点)における太陽との距離(近日点距離)は、
a:楕円の長半径; e: 離心率　とすると、
近日点距離＝a(1-e) となります。
近日点距離における公転速度をvとすると、
遠日点における公転速度は、{v(1-e)}/(1+e) になるそうなのですが、
なぜこうなるのかがわかりません。

どなたか、わかる方教えていただけないでしょうか。

回答No.1

pasocom · ベストアンサー

この問題が「ケプラーの法則」であることを隠して出された問題であるなら、それなりのも出題といえますが、質問者さまが書かれているように、すでに「ケプラーの法則に関する問題である」という「ネタばらし」の上での出題なら、ただ検算するだけの計算問題に過ぎません。
「ケプラーの法則」の内、第二法則は「面積速度一定の法則」ですね。これは惑星が軌道上のどこに位置していようともその面積速度は一定である、という法則です。
この場合、「面積速度」＝「その位置における軌道半径」ｘ「その位置での角速度」です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87

「近日点における面積速度（S1）」＝「軌道半径（1-e）」ｘ「角速度（v）」
一方、
「遠日点における面積速度（S2）」＝「軌道半径（1+e）」ｘ「角速度（v'）」
となり、
　S1＝S2　（これこそがケプラーの第二法則です。）なので、
（1-e）v＝（1+e）v'
よって、
　v'＝v（1-e）/（1+e）
である。
以上。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

pasocom

＃１です。
先の回答で「惑星の軌道長半径（a）」を入れ忘れました。約分されちゃうので結果は同じですが、失礼しました。
正しくは、
「近日点における面積速度（S1）」＝「軌道半径：a（1-e）」ｘ「角速度（v）」
一方、
「遠日点における面積速度（S2）」＝「軌道半径：a（1+e）」ｘ「角速度（v'）」
となり、
　S1＝S2　なので、
　a（1-e）v＝a（1+e）v'
よって、
　v'＝v（1-e）/（1+e）
である。