条件をみたす領域の問題

質問

長方形ABCDの内部の点Pが、次の条件に従う時、それぞれの場合に、Pの存在する範囲を図示し、その面積を求めよ。ただし、AB＝３a, AD=4a

1,⊿ PAB<2⊿PADーーー図と面積どちらもわかりません。
2, ⊿PAB+⊿PAD<6a二乗―――わかりました。
3, ∠PAB<∠PAC―――わかりました。
4, ∠APB<60度---図はわかりましたが、面積がわかりません。

１について
私は、長方形ABCDを分けるのも、⊿ABDを分けるのも同じ。
だから、⊿ABDを⊿ PAB＝2⊿PADとなるようPをとるそしてそれよりも、B側が答え、としたのですが、間違っていました。

１の答えは、
「PからAB、ADに下ろした垂線の足をそれぞれH、Iとすると、PH＝8/3PIを満たす線分を境界として点Bを含む側になる。面積は９a二乗」
ですが、この解答の意味がわかりません。なにをどうしているのでしょうか？

４、答えは
「ABを一辺とする正三角形ABFを考えると、三角形ABFの外接円の外部と長方形ABCDの内部の共通部分になる。面積は、12-(9√3/4)-π」
です。この答えを図示するところまではわかりました。角度が６０度となるのは、せいさんかくけいのときで、その角度が保たれるのは、三点A、B、Fが同一円周上にあるとき。
しかしこの図示部分の面積の求め方がわかりません。
どうすれば求まりますか？

お手数ですが、教えていただけるとありがたいです。
どうぞよろしくお願いたします。

回答No.2

msforest · ベストアンサー

No1です．

１．については
＞図と面積どちらもわかりません。

４．については
＞図はわかりましたが、面積がわかりません。

　この部分だけに目を通し，それ以降は見ずに回答していました．後で質問者さんの質問にもう一度目を通していて，配られた，あるいは手持ちの解答があること，またその解答の中に不明な点があるのだ…ということに気づきました．大変失礼しました．

　ご質問に順次お答えします．

＞１について
私は、長方形ABCDを分けるのも、⊿ABDを分けるのも同じ。
だから、⊿ABDを⊿ PAB＝2⊿PADとなるようPをとるそしてそれよりも、B側が答え、としたのです

「⊿ABDを⊿ PAB＝2⊿PADとなるようPをとる」と言っておられますが，どこにとるのでしょうか…．BD上にとるということですか…．もしそうだとしたら，それは「△PAB=2△PAD」となるような点をBD上でとったということです．しかし，△PAB=2△PAD をみたす点PはBD上以外にも無限に存在します．結論的には，CDの中点をMとするとき，線分AM上の点Pはすべて △PAB=2△PAD をみたしているのです．したがって，本問の最終的な結論は領域として出てきます(詳しくは「線分AMより下側」です)．

＞１の答えは、
「PからAB、ADに下ろした垂線の足をそれぞれH、Iとすると、PH＝8/3PIを満たす線分を境界として点Bを含む側になる。面積は９a二乗」
ですが、この解答の意味がわかりません。なにをどうしているのでしょうか？

　これはこういうことです．まず長方形内にPをとり，そこからAB，ADに引いた垂線の足をそれぞれH，Iとすると，
△PAB=(1/2)3a・PH=(3a/2)PH，　　△PAD=(1/2)4a・PI＝(2a)PI
になります．これらを △PAB=2△PAD の関係に代入すると，(3a/2)PH＝(4a)PI となり，この式を PHについて解くと PH=(8/3)PI が出てくるということです．

　この問題は，上記方法および，私がNo１の回答の中で示したように解くこともできるし，この他にもいくつか考えられます．上記以外の１つの方法を示すことと，本問における AB=3a, AD=4a が実はどうでもよいような条件であることを見せる意味で，AB=s, AD=t と一般化して同じ問題，すなわち △PAB<2△PAD をみたすPの存在範囲を求めてみます．

　Pを長方形の内部の点，また直線APと直線CDの交点をMとします．そして △PABと△PADの面積を考えるにあたって，PAを共通の底辺と見なし，PA=x とおきます．頂点B，Dそれぞれから直線AMに下した垂線の足をそれぞれK, Lとすると
　　　　　　　　△PAB=(1/2)x・BK，　△PAD=(1/2)x・DL
これを △PAB＝2△PAD の関係に代入すると，容易に BK=2DL が得られます．よって，BK：DL=2:1．
　ところで，２つの直角三角形 △BAKと△DML は相似だから
　　　　　　　　　BA：DM=BK：DL=2:1
すなわち，面積が２倍の条件はMがCDの中点ということと同値なのです．これで，縦横の長さが 3a, 4a という条件はさほど意味がないことが分かったでしょう．

＞４、答えは
「ABを一辺とする正三角形ABFを考えると、三角形ABFの外接円の外部と長方形ABCDの内部の共通部分になる。面積は、12-(9√3/4)-π」
です。この答えを図示するところまではわかりました。角度が６０度となるのは、せいさんかくけいのときで、その角度が保たれるのは、三点A、B、Fが同一円周上にあるとき。
しかしこの図示部分の面積の求め方がわかりません。
どうすれば求まりますか？

　これについてはNo.１の回答の中でおおよその計算方法を申し上げました．しかし，今見直してみると最後の結果を打ち損ねたようです．正しくは
　　　　　　　　　(12-(9/4)SORT3-π)a^2
になりますかね…．後は自分で確認してみて下さい．

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
１と４について、大変よくわかりました。

この問題は答えのみがテキストの後ろにのっていて、考え方はのっていませんでした。
ですが、特に１については、まずHとIをとってやると、後はそのままだたのですね。

お世話になり、ありがとうございました。

回答No.1

msforest

質問者さんは，うっかり数学の質問をここ英語のカテにしてしまったのだと思いますが，今後は間違えないようにして下さい．一応，以下のようになるかと…．

１．PA=x，∠PAB＝α で表すことにします．面積公式により
　　 △PAB＝(1/2)3a・x・sinα=(3/2)ax sinα，　△PAD＝(1/2)4a・x・sin(90-α)=2ax cosα
となり，与えられた不等式に上の２つを代入して整理すると，
　　 　3sinα<8cosα これより tanα<8/3
　次に，CDの中点をMとすると，tan∠MAB=8/3 であることから，Pの存在範囲は長方形ABCDの内部のうち，線分AMの下側の台形領域であることが判ります．この面積を計算して下さい．多分，9a^2 になるかと．

２．長方形ABCD内にABを一辺とする正三角形ABEをつくり，その外接円をK，また，Kの中心をOで表すことにします．するとPの存在範囲は長方形内のうちKの外側になりますね．したがって，長方形ABCD内のうち，Kの内部に属する部分(長方形ABCDの内部とKの内部の共通部分)の面積が分かれば，求める面積も分かります．
　Kと線分BC，ADの交点をそれぞれF, G(F≠B，G≠A) とします．ここで長方形ABFGに注目します．Kの中に長方形ABFGがはまっている様子をイメージして下さい．また，∠AEB=60°に注意すると，∠AOB=120°，よって，∠FOG=120°．これで扇形OFGの面積も分かります．結局，最終的に求める面積は，(12-3SQRT3-π) a^2 (ここで，SQRT3 はルート3を表します)になるかと思いますが，ご自分で必ずチェックして下さい．

ご参考になれば…．

お礼

ご回答ありがとうございます。
この問題は書き忘れていたましたが、中二の平面幾何の問題です。
座標などは用いず、平面幾何だけの知識で解きたいのです。