三角比の問題

質問

１ 100m離れた2地点A、Bから川を隔てた対岸の2地点P、Qを観測して、次の値を得た。
∠PAB=75、∠QAB=45、∠PBA=60、∠QBA=90。
このとき、A、P間とP、Q間の距離を求めよ。

２一直線上に並んだ3地点A、B、Cから塔PQの仰角を測ると、
それぞれ30、45、60であった。
また、AB=20m、BC=20mであった。
塔PQの高さを求めよ。

３一辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHにおいて、
辺CGの中点をMとする。
線分AF、AM、FMの長さと∠FAMの大きさを求めよ。

４半径1の円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB=√3、∠D=75、∠C=120であるとき、
∠ADB、∠DACの大きさ、線分CD、ACの長さを求めよ。

自分で少しやってみたのですが、
なかなか答えにたどりつけなかったので、
どうかよろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

1.　平面上の測量の問題ですね。
　　直線ABと直線PQが平行でないことに注意が必要です。

　△ABQで∠QBA=90°、∠QAB=45°　から　∠AQB=45°　であるので、△ABQは直角二等辺三角形だと分かります。
　　∴ BQ=AB=100 (m), AQ=√2AB=100√2 (m)
　△ABPで∠PAB=75°、∠PBA=60°　から　∠APB=45°　であるので、∠APB=∠AQB=45°　となり、弦ABに見込む角（円周角）が等しいので、四角形ABQPは円に内接することが分かります。
　すると、円に内接する四角形の対角の和は180°ですので、∠ABQ=90°　から　∠APQ=90°　となり、△APQは直角三角形です。
　円周角の定理から　∠PQA=∠PBA=60°　ですので△APQは　辺比が1：2：√3　の直角三角形ですので、
　　∴　PQ=AQ/2=50√2 (m), AP=√3PQ=50√6 (m)

2.　空間内での測量の問題ですね。
　　直線ABCが塔の直下Qを通らないことに注意が必要です。

　塔PQの高さをx(m)とします。
　△APQは∠PAB=30°、∠AQP=90°の直角三角形ですので、AQ=√3 x (m)
　同様に△BPQ、△CPQについても直角三角形の三角比から　BQ=x (m), CQ=x/√3 (m) となります。

　△ABQと△BCQについて余弦定理を適用すると
　　AQ^2=AB^2+BQ^2-2AB・BQcos∠ABQ
　　CQ^2=BC^2+BQ^2-2BC・BQcos∠CBQ
となります。ここで、∠ABQ+∠CBQ=180°　なので　cos∠CBQ=-cos∠ABQ になり、AB=BC=20 (m) であることに注意して　2つの余弦定理の式を足し合わせると、cosの項が消えて整理でき
　　(10/3)x^2=2x^2+800
　∴PQ=x=10√6 (m)

3.
　△ABFは∠ABF=90°の直角二等辺三角形なので、AF=2√2
　△MAGで三平方の定理から　FM=√5
　△ABC≡△ABFから　AC=2√2、　△ACMで三平方の定理から　AM=3

　△AFMに余弦定理を適用して
　　cos∠FAM=(AF^2+AM^2-FM^2)/(2AF・AM)=√2/2
　∴∠FAM=45°

4.　円に内接する四角形の問題ですので、設問1．とよく似ています。
　　△ABDが正三角形であることに気づくと早く求められます。

　円の中心を点Oとして、弦ABに点Oから下ろした垂線の足をHとすると、△OAHと△OBHは合同な1：2：√3の直角三角形になっていますので、∠AOH=∠BOH=60°　∴∠AOB=120°
　円周角は中心角の半分ですので　∠ADB=(1/2)∠AOB=60°
　円に内接する四角形の対角の和は180°ですので　∠DAB=180°-∠BCD=60°
　△ABDの内角の和は180°なので　∠ABD=60°
　∠ADB=∠DAB=∠ABD=60°なので　△ABDは正三角形であることが分かり、　AD=BD=AB=√3

　円周角の定理から　∠ACD=∠ABD=60°
　△ACDの内角の和から　∠DAC=180°-∠ADC-∠ACD=45°
　△ACDに正弦定理を適用して
　　CD/sin∠DAC=AD/sin∠ACD=AC/sin∠ADC
　∴CD=√2, AC=(√6+√2)/2
　　　　　　（∵　sin75°=(√6+√2)/4　　）

お礼

詳しく説明してくださってありがとうございました＞＜
結構わかりやすかったです＾＾

回答No.2

gohtraw

（１）∠QAB=４５°、∠QBA＝９０°なのでAB=QBです。APｓｉｎ７５°＝ＱＢ、ＰＱ＝ＱＢｔａｎ３０°です。
（２）Ｐ，Ｑのうち、Ｐが地上にある点とします。ＰＱの高さをｈとすると、ＡＰ，ＢＰ，ＣＰの距離はそれぞれｈ／ｔａｎ３０°、ｈ／ｔａｎ４５°、ｈ／ｔａｎ６０°です。
　⊿ＰＢＡについて余弦定理を用いてｃｏｓ∠ＰＢＡを表します。また、△ＰＢＣについて余弦定理を用いてｃｏｓ∠ＰＢＣを表します。Ａ，Ｂ,Ｃが一直線にあるということは∠ＰＢＡ＋∠ＰＢＣ＝１８０°ということであり、ｃｏｓ∠ＰＢＡ＝－ｃｏｓ∠ＰＢＣなので・・・
（３）ＡＦは正方形の対角線です。ＡＭについてはまずＡＣの長さを求め、△ＡＣＭについて三平方の定理を使います。ＦＭも三平方の定理です。∠ＦＡＣについては∠ＡＦＭが９０°になるので△ＡＦＭに正弦定理を用いればいいと思います。
（４）△ＡＤＢについて正弦定理を使います。ｓｉｎ∠ＡＤＢとＡＢの長さ、そして外接円の半径の関係を使って・・・。これにより∠ＡＤＢが判り、∠ＡＢＤも判るのでＡＤの長さも求められます。今度は△ＤＡＣに正弦定理を使うと∠ＡＣＤが求められ、三角形のふたつの内角が判るので∠ＤＡＣも求められます。∠ＤＡＣが判ればさらに△ＤＡＣに正弦定理を用いてＣＤの長さが判ります。ＡＣの長さも△ＤＡＣに正弦定理を使います。

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m