不等式の証明（既出 問題訂正）

質問

a>0,b>0,c>0,abc=8のとき、次の不等式を示せ。

a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+b^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}+c^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}>=4/3を

a^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}+b^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+c^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}>=4/3に訂正します。

考えたこと。
(1)相加相乗平均を使うと、9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)を示せばよいとなるが、
　abc=8から、いくらでもa,b,cの値は大きくなるので、うまくいかないと思いました。
(2)左辺の第一項a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}をa^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}>=4△/3(△+○+☆)の形にできないか。第二項、第三項も同様にして、３つの式を加えて
左辺>=4(△+○+☆)/3(△+○＋☆)=4/3。とできないかと考えたが、挫折。

よろしく、アドバイスお願いします。

回答No.9

hrsmmhr · ベストアンサー

難しいです…

まず9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)ですが
質問者の考えが正しいと思います。#7さんが言われているように相加相乗平均の押さえ方がきつくて
相乗の項の関数が等号条件で最大になって接しているので、数学の勘がどうしても符号が逆にならなくては
いけないように思えてしまいました。

頭を切り替えて回答方針（答えは出ていません）を考えましたので、方針だけですがご参考にしてください

まず次の式変形ができます。
A=√(1+a^3),B=√(1+b^3),C=√(1+c^3),a>=b>=cとして
3(a^2C+b^2A+c^2B)^2-4(ABC)^2
=3(a^4C^2+b^4A^2+c^4B^2+2a^2b^2AC+2a^2c^2BC+2b^2c^2AB)-4(ABC)^2
=3(a(A^2-1)C^2+b(B^2-1)A^2+c(C^2-1)B^2+1/4(a^3b^3cAC+a^3c^3bBC+ab^3c^3AB)-4(ABC)^2
=3(a(A^2-1)C^2+b(B^2-1)A^2+c(C^2-1)B^2+1/4(c(A^2-1)(B^2-1)AC+b(A^2-1)(C^2-1)BC+a(B^2-1)(C^2-1)AB)-4(ABC)^2
=3(a(A^2-1)(C^2-1)+b(B^2-1)(A^2-1)+c(C^2-1)(B^2-1)+a(A^2-1)+b(B^2-1)+c(C^2-1)+1/4(c(A^2-1)(B^2-1)AC+b(A^2-1)(C^2-1)BC+a(B^2-1)(C^2-1)AB)-4(ABC)^2
相加相乗平均で
>=9(abc)^(1/3){(A^2-1)(B^2-1)(C^2-1)}^(2/3)+9(abc)^(1/3){(A^2-1)(B^2-1)(C^2-1)}^(1/3)+9/4(abc)^(1/3){(A^2-1)(B^2-1)(C^2-1)}^(2/3)(ABC)^(2/3)-4(ABC)^2
=9*2*64+9*2*8+9/4*2*64(ABC)^(2/3)-4(ABC)^2
=81*16+9*32(ABC)^(2/3)-4(ABC)^2

ここで(ABC)^(2/3)=Xとして
=4(81*4+9*8X-X^3)が計算でき
X=2√6で最大値をとりますのでabc=8の制約でX={(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)}^(1/3)の範囲を考えます
a<24^(1/3)のときb最大、ｃ最小でXが最大になります。
X<{2*25^2}^(1/3)=1250^(1/3)<1331^(1/3)=11
X=11のとき
81*4+9*8X-X^3=729+792-1331>0
となるのでa=<24^(1/3)では不等式は成り立ちます。

a>24^(1/3)のときですが、泥臭い計算で潰す事にしようかと思って

1/(ABC)(a^2C+b^2A+c^2B)…★

a>=24^(1/3)>2√2,c<=(7/9)^(1/3)のとき
C<=4/3なので
★=a^2/(AB)+b^2/(BC)+c^2/(CA)>a^2/(AB)+3b^2/(4B)
f(a,b)=a^2/(AB)+3b^2/(4B)として
∂f/∂a=(2aA-a^2A')/(A^2B)=(2a+a^4/2)/(A^3B)>0(a>0から)
最小値はa=24^(1/3)
f(24^(1/3),b)=8/(5B)+3b^2/(4B)
∂f(24^(1/3),b)/∂b=1/20(30b+30b^4-45/2b^4-12b^2)/B^3=b/40(15b^3-24b+60)/B^3
15b^3-24b+60は極値が√(8/15)で極小になるので
f(24^(1/3),√(8/15))=(8/5+2/5)/1.17..=1.69....>4/3

ここまででA>5,C>4/3に条件が狭められます
改めてc=<2はabc=8で最小であるからいえるので
★>a^2/(AB)+b^2/(3B)+c^2/(6C)
aの変微分で単調増加でa=24^(1/3)のとき
★>=24^(2/3)/(5B)+b^2/(3B)+c^2/(6C)
bの変微分で1/3{2b+2b^4-3/2b^4-9/5(24)^(2/3)b^2)/B^3=1/6{b^4-18/5(24)^(2/3)b^2+4b}/B^3
極値はb=(6/5)^(1/2)(24)^(1/3)=7.73…>8/{24^(1/3)(7/9)^(1/3)}
よって最小値はb=8/{24^(1/3)(7/9)^(1/3)}のとき
[24^(2/3)/5+8^2/{24^(1/3)(7/9)^(1/3)}^2*(1/3)]/√{9*8^3/(24*7)+1}+c^2/(6C)=0.88+c^2(6C)
…（涙）

です
なので最後のa>=24^(1/3)>2√2,c>=(7/9)^(1/3)が解けたらと思ってます
ご参考まで

お礼

回答ありがとうございます
偏微分とかあまりよくわからないので・・・
ただ、グラフで考えるのも１つの手だとはこれ以外の問題でも
有効な方法だと思います。
貴重な時間を使って考えてもらいありがとうございます。