不等式の証明（既出 問題訂正）

質問

a>0,b>0,c>0,abc=8のとき、次の不等式を示せ。

a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+b^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}+c^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}>=4/3を

a^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}+b^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+c^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}>=4/3に訂正します。

考えたこと。
(1)相加相乗平均を使うと、9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)を示せばよいとなるが、
　abc=8から、いくらでもa,b,cの値は大きくなるので、うまくいかないと思いました。
(2)左辺の第一項a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}をa^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}>=4△/3(△+○+☆)の形にできないか。第二項、第三項も同様にして、３つの式を加えて
左辺>=4(△+○+☆)/3(△+○＋☆)=4/3。とできないかと考えたが、挫折。

よろしく、アドバイスお願いします。

回答No.8

alice_44

貴方の方針どおり、３項目の相加相乗平均の関係を使うと、
与式左辺 ≧ 3[ (8^2)/{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)} ]^(1/3) が言えるので、
(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) ≧ 9^3 を示すことができれば、与式が従います。

質問文中の(1)とは不等号の向きが逆で、A No.2の(2)と同じ式ですね。
(8^2)/{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)} の分母に (1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) がある
ことに注目して、考え直してみましょう。
そこが理解できれば、a, b, c の値はいくら大きくなってもよいことになる
ので、貴方が詰った箇所は解決です。

以上終了。後は再度御自分で…　では、いかにもナニなので、
(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3) ≧ 9^3　←(*) についても考えてみます。

(*)左辺 = 1 + a^3 + b^3 + c^3 + (b^3)(c^3) + (c^3)(a^3) + (a^3)(b^3) + (a^3)(b^3)(c^3)
　　　　= 1 + a^3 + b^3 + c^3 + (8/a)^3 + (8/b)^3 + (8/c)^3 + 8^3
と展開されますが、

a^3 + (8/a)^3 = a^3 + 8(4/a)^3 の右辺に９項目の相加相乗平均の関係を使って
a^3 + 8(4/a)^3 ≧ 9{ (a^3)(4^3/a^3)^8 }^(1/9) = 9{4^(8/3)}/{a^(7/3)} であり、
b, c についても同様ですから、結局
(*)左辺 ≧ 1 + 8^3 + 9{4^(8/3)}[ 1/a^(7/3) + 1/b^(7/3) + 1/c^(7/3) ]
となります。

この式の [ ] 内に再度３項目の相加相乗平均の関係を使って、
1/a^(7/3) + 1/b^(7/3) + 1/c^(7/3) ≧ 3{ 1/8^(7/3) }^(1/3) = 3/{2^(7/3)}
となりますから、

以上をまとめると、
(*)左辺 ≧ 1 + 8^3 + 9{4^(8/3)}・3/{2^(7/3)} = 729 = 9^3 となって完了です。

最終的な等号成立条件は、
(a^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)} = (b^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} = (c^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)},
a^3 = 4/a^3, b^3 = 4/b^3, c^3 = 4/c^3, 1/a^(7/3) = 1/b^(7/3) = 1/c^(7/3)
ですから、これを満たす a, b, c は在って、a = b = c = 2 です。

９項目の相加相乗平均を使うところが、技巧的になってしまいますが、
等号成立条件の最終的な形を考えて、あのようにしているのです。

偏微分を使うことができれば、もう少し見通しのよい解法があります。

お礼

回答ありがとうございます
早速、じっくりと自分なりに確かめたいと思います