不等式の証明（既出 問題訂正）

質問

a>0,b>0,c>0,abc=8のとき、次の不等式を示せ。

a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+b^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}+c^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}>=4/3を

a^2/√{(1+a^3)(1+b^3)}+b^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}+c^2/√{(1+c^3)(1+a^3)}>=4/3に訂正します。

考えたこと。
(1)相加相乗平均を使うと、9>={(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}^(1/3)を示せばよいとなるが、
　abc=8から、いくらでもa,b,cの値は大きくなるので、うまくいかないと思いました。
(2)左辺の第一項a^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}をa^2/√{(1+b^3)(1+c^3)}>=4△/3(△+○+☆)の形にできないか。第二項、第三項も同様にして、３つの式を加えて
左辺>=4(△+○+☆)/3(△+○＋☆)=4/3。とできないかと考えたが、挫折。

よろしく、アドバイスお願いします。

回答No.3

mister_moonlight

＞(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)の最小値が、(12)/(xyz)＾(2/3)の最大値よりも、小さいときがあるとおもうのであるが・

それなら、この不等式は常には成立しない事になる。
この不等式は、常に成立するから　それを証明するんじやないの？
つまり、この不等式で　(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)の最小値は、(12)/(xyz)＾(2/3)の最大値よりも大きい、or、等しい から　常に成立するんじゃないの？

お礼

回答ありがとうございます
確かに(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)の最小値が、(12)/(xyz)＾(2/3)の最大値よりも大きいか、または、等しいことが言えればよいと思いました。(12)/(xyz)＾(2/3)の最大値はいいとして、(a＾2)/(xy)＋(b＾2)/(yz)＋(c＾2)/(zx)の最小値がはっきりしないので、うまくいかないのかと思いました。