不等式の証明

質問

ａ＞０、ｂ＞０の時(ａ＋ｂ)(１／ａ＋１／ｂ)≧４が成り立つ事を調べよ。

まず、左辺を展開して１＋ａ／ｂ＋ｂ／ａ＋１。これを整理して、２＋{(ａ＾２＋ｂ＾２)／ａｂ}
このような式変形でいいのでしょうか？ここから先はどのように証明していくのですか？相加・相乗平均を使うのかなとは思っています・・・簡単な事を質問しているかもしれませんが、教えて下さい。

回答No.7

fushigichan

ti-zuさん、こんばんは。
沢山回答が寄せられていますので、回答する必要ないかなと思っていたのですが
ti-zuさんが混乱するといけないので、ちょっと参加させてくださいね。

まず、
＞ａ＞０、ｂ＞０の時(ａ＋ｂ)(１／ａ＋１／ｂ)≧４が成り立つ事を調べよ

ですから、＃２PAPさんの方法で分母を払っても問題ないと思います。

(a+b)(1/a+1/b)≧4
⇔1+b/a+a/b+1≧4
⇔2+(a^2+b^2)/ab≧4
⇔(a^2+b^2)/ab≧2
↑
このやじるしは、同じこと、という意味です。
つまり、
(a^2+b^2)/ab≧2
を示せばいいです。
今、a>0,b>0ですから、ab>0なので両辺にabをかけてもいいですので
(a^2+b^2)≧2ab
(a^2+b^2)/2≧abを示せばいいです。

これは、相加平均・相乗平均の
(x+y)/2≧√xy
において、x=a^2,y=b^2
を代入してやった式にほかなりませんから、

(a^2+b^2)/2≧ab

は成り立ちます（等号は、a^2=b^2のとき、すなわち
a>0,b>0より、a=bのとき）

＃４mirage70さんの、最初から相加平均・相乗平均を使う方法もいいと思います。
頑張ってください。

お礼

fushigichanさんのお礼欄を借りて、まとめてお礼をさせていただきます。みなさんの丁寧な回答のお陰で証明ができました。有難うございました。また私の考え方も合っていたと言うことが分かり、安心しました。
これからも、質問した際には宜しければ回答して下さい。

回答No.6

noname#24477

＃２　ＰＡＰさん

ａとｂの積が　ａｂ＜＝０　のときは成立しません。

証明の中で分母を払っています。負の場合は不等号の
向きが逆になります。
不等式の計算のときは分母を払うより通分のほうがいいです。計算を書くのは面倒になりますが。

回答No.5

eatern27

コーシーシュワルツの不等式より

{(√a)^2+(√b)^2}{(1/√a)^2+(1/√b)^2}≧{(√a)(1/√a)+√b(1/√b)}^2

∴(a+b){(1/a)+(1/b)}≧4

等号成立条件は√a：√b=(1/√a):(1/√b)より、a=b

同じ事ですが、(ベクトルの→は省略、p,qがベクトル、a,b>0)
ｐ＝(√a,√b),ｑ＝(1/√a,1/√b)とおくと、
|ｐ|^2=a+b,|ｑ|^2=(1/a)+(1/b)、p・q=2

-|ｐ||ｑ|≦p・q≦|ｐ||ｑ|より、
|ｐ|^2|q|^2≧(ｐ・ｑ)^2

∴(a+b){(1/a)+(1/b)}≧4

等号成立はｐとｑが平行の時、すなわちa=bの時

回答No.4

mirage70

他の方で、解答はでていますが、
相加・相乗平均を使うのかなとは思っています・・・
此を最初から使ってはいかがですか。
ａ＞０、ｂ＞０より、(ａ＋ｂ)>0,(１／ａ＋１／ｂ)>0
よって、、(ａ＋ｂ)/2>=√(ab) , (1/a+1/b)/2>=√(1/ab)
∴((a+b)/2)((1/a+1/b)/2)>=(√(ab))(√(1/ab))
此処で、(√(ab))(√(1/ab))=1
よって、((a+b)/2)((1/a+1/b)/2)>=1
∴((a+b)/2)((1/a+1/b)/2)>=4

まず、左辺を展開して１＋ａ／ｂ＋ｂ／ａ＋１。これを整理して、
２＋{(ａ＾２＋ｂ＾２)／ａｂ}
(a-b)^>=0を利用します。
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab>=0よって(a^2+b^2)>=2ab
(a^2+b^2)/ab>=2ab/ab
2+(a^2+b^2)/ab>=2+2ab/ab=4

回答No.3

yuusukekyouju

展開した段階から説明します。
1+a/b+b/a+1=2+a/b+b/a
a/b+b/aについて相加・相乗平均をつかえば
a/b+b/a≧2√（a/b×b/a)=2
つまり2+a/b+b/a≧4

回答No.2

PAP

１/ａ＋１/ｂ　の部分に注目してください。
これを通分してみると、分母が　ａｂ　で分子が・・・
何か見たことあるような数式になりませんか？

いいから答えを！というときは下の続きを見てください。

ａ＞０、ｂ＞０の時
（ａ＋ｂ）＞０
（１/ａ＋１/ｂ）＞０
故に
（ａ＋ｂ）（１/ａ＋１/ｂ）＞０
次に
（ａ＋ｂ）（１/ａ＋１/ｂ）≧４
（ａ＋ｂ）｛（ａ＋ｂ）/ａｂ｝≧４
（ａ＋ｂ）^２≧４ａｂ
（ａ－ｂ）^２≧０
です。
ａ、ｂのいずれかまたは両方がゼロの場合、ゼロの割り算をどう習っているかわかりませんので、できないことにしておきましょう。
この式はａ、ｂのいずれかまたは両方がゼロでない場合、正の数でも負の数でも成り立つように思いますが、ａ＝－ｂの場合だけ成立しません。解答例の最初に書いたのは「ａ＝－ｂにならない」ことの証明です。この部分が問題のキモなんでしょうね。

回答No.1

really

(ａ＋ｂ)(１／ａ＋１／ｂ)≧４・・・(1)の成立を証明することは

２＋{(ａ＾２＋ｂ＾２)／ａｂ} ≧４
さらに式を変形して

(ａ＾２＋ｂ＾２)　≧　4ab
　a^2 + b^2 -2ab　≧　0　・・・　(2)の成立を示せばいいわけですね。
(2)は　a^2 + b^2 -2ab =(a-b)^2 ≧0
で常に成立するので(1)も成り立つ。

ということでいかがでしょうか？