断熱膨張の手計算

質問

下は大学院試験の問題の一部で、手計算でやるとのことですが，最終的に自然数の実数乗の計算で行き詰ってしまいました。やり方を教えて下さい。あともしよければもっとうまい計算方法があれば教えて下さい。実際に地道に計算していくとかなり大雑把な近似をしないと時間が足りなくなってしまうので，試験時間のことを考えると、うまい計算の仕方や解法があれば知りたいです。

・問題
体積０．１ｍ３、温度３００K、１．０molの窒素を断熱膨張させた後の温度を求めよ。窒素は理想気体として扱い、定積モル比熱容量は5nR/2とする。必要であればlog2≒0.69，log3≒1.1，log5≒1.6を用いよ。

・自分でやった導出
TaVa^(γ-1)=TbVb^(γ-1)
logTa+(γ-1)logVa=logTb+(γ-1)logVb

Ta=300 Va=0.1 Vb=1 γ=1.4を代入して

log300+0.4*log0.1=logTb+0.4log1
log2+log3+log5+log2+log5+0.4(log2-log5-log2-log2)=lngTb+0
5.68+0.4*(-2.29)=logTb
4.764=logTb
Tb=exp(4.764)=exp(4)*exp(0.7)*exp(0.06)*exp(0.004)
≒ 54*exp(0.7)*exp(0.06)*exp(0.004)

exp(4)は何度も近似しながら一応大雑把な値は出ますがそれ以降はできません。
実数乗の計算をググってみましたが，やり方が今一よく分かりませんでした。

よろしくお願いします。

回答No.1

heboiboro · ベストアンサー

他に方法があるかもしれませんが、とりあえず 4.764≒3*log5 を用いれば、Tb≒5^3=125 と求まりますね。
exp(4.764)=117.21…≒1.2×10^2 なのでそう悪い近似でもないと思います。
元々有効数字が二桁程度で与えられていますし。

最初から全部対数にばらすよりは、
Tb=Ta*(Va/Vb)^(γ-1)=300*0.1^0.4
0.4ln(0.1)=-0.4(ln2+ln5)≒-0.4*2.29=-0.916≒ln(2/5)
よって Ta≒300*2/5=1.2*10^2
と求めた方がほんの少し楽かな？

お礼

回答ありがとうございます！
なるほど，そういう手があるんですね，とても参考になりました。

回答No.3

htms42

＃２です。
お礼の欄に書かれている内容について、
１．
＞すみません誤植でした、正確には「1molの窒素を体積1.0m3に自由膨張させる」です。
　与えられているのはn=1mol, Vb=1.0m3です。

　自由膨張と断熱膨張とでは意味が異なります。
「自由膨張」は自由空間への膨張ですから外部に対して仕事をすることがありません。理想気体の場合には温度変化は生じません。

２．
＞>　求める計算が（１０)^(0.4)ですから常用対数に向いている計算になっています。
３．
＞>　ｌｏｇｘ＝０．４を満たすｘの値を知りたいのですが

＞とのことですが，それぞれどういった計算の過程で出てくる項なのか教えて下さい。

Ｔｂ／Ｔａ＝(Ｖａ／Ｖｂ)^(１－γ)
　　　　　＝(０．１／１．０)^0.4
この式が出発点になるはずですね。

でも元々の問題が自由膨張であればこの計算は不要になります。

Ｑ２以下でも自由膨張になっていますので、Ｑ１も自由膨張であるというのは納得できます。
でもその場合、ｌｎ２，ｌｎ３，ｌｎ５を与えているという意味が分かりません。
Ｑ２のエントロピー変化の表現には自然対数が出てきますので変化の値を求める時には自然対数の値が必要になります。でも自然対数の数値を共通に使うのであれば数値はＱ１の中に書かずにＱ１の前に書くのが普通です。

理想気体では分子間力を考えに入れていません。
自由膨張で温度変化が生じないというのが理想気体の定義であるとしてもいいのです。
実在気体で分子間力を考える場合には自由膨張で温度変化が生じます。
ファンデルワールス気体は分子間力の働いている気体の１つのモデルです。温度変化が生じます。
ただ測定しやすい量になっているかというのは別問題です。
この辺はジュール・トムソン効果にからんだ説明のところで扱われている場合が多いです。
でも説明に混乱もあるようですので分かりにくくなっています。
Ｅ-ｍａｎの物理でも扱っているようですから検索してみて下さい。

訂正
＃２に「ｌｎとｌｏｇの換算の数値が与えられていない」と書きましたが、誤りです。
ｌｎ２＋ｌｎ５＝ｌｎ１０ですから
ｌｎ１０＝０．６９＋１．６＝２．２９になります。

（ｌｎ２＝０．６９、ｌｎ３＝１．１、ｌｎ５＝１．６という数値が与えられていますが有効数字という点からは「？」が付きます。２桁に揃えたのでしょうが、対数関数の整数部分は指数の桁数を表していますから有効数字をそろえるということであれば小数点以下の桁数で考えないといけないのです。足し算、引き算では桁数ではなくて同じくらいまでの数値が必要だと考えてもらってもいいです。掛け算の対数をとると足し算に変わります。
ｌｎ２＝０．６９、ｌｎ３＝１．１０、ｌｎ５＝１．６１になります。
これだとｌｎ１０＝２．３０も出てきます。）

お礼

回答ありがとうございます。
自由膨張≒断熱膨張だと勘違いしていました；
問題の仮定なんですが，「窒素を自由膨張させる。この過程は断熱膨張で窒素への熱の出入りはないものとする」とのことなので，自由かつ断熱膨張のようです。
でも，自由膨張ってW=0ってことなんですよね？その上dQ=0ってことは理想気体と見なす場合は温度は全く変わらないという結論に帰着するってことなのでしょうか，なんだか題意が分からなくなってきました；

回答No.2

htms42

１．問題文の中にＶｂが示されていません。
　　１．０ｍｏｌというのが１．０ｍ^3の書き間違いでしょうか。

２．断熱膨張での関係式、TaVa^(γ-1)=TbVb^(γ-1)　を導く時には自然対数を使います。
　　でも式が出てしまえば自然対数であることは関係しません。指数計算をするだけですから常用対数でいいはずです。問題文に与えられている数値、ｌｏｇ２≒０．６９はｌｎ２の事ですね。なぜわざわざ自然対数を数値計算に使うことを要求したのでしょう。（ｌｏｇは常用対数、ｌｎを自然対数の意味に使うことにします。）
数値を与えるのであれば常用対数でｌｏｇ２，ｌｏｇ３を与えればいいはずです。
求める計算が（１０)^(0.4)ですから常用対数に向いている計算になっています。

３．常用対数で数値が与えられているとします。
　　ｌｏｇ２＝０．３０１、ｌｏｇ３＝０．４７７
　　（これは大学入試問題でもよく出てくる数値の与え方です。）
　　ｌｏｇ５＝１－ｌｏｇ２＝０．６９９
　　ｌｏｇｘ＝０．４を満たすｘの値を知りたいのですが
　　ｌｏｇ５－ｌｏｇ２＝０．３９８
ですからｘ＝５／２としていいでしょう。

４．Ｔｂ／Ｔａ＝２／５です。

５．断熱膨張の関係式を導くのであれば大学レベルでしょうが、TaVa^(γ-1)=TbVb^(γ-1)を使って数値計算をするというだけであれば高校レベルです。
関係式と常用対数でｌｏｇ２，ｌｏｇ３を与えれば入試問題に出してもかまわない内容です。
それをわざわざ自然対数でｌｎ２、ｌｎ３，ｌｎ５を与えて計算させています。
しかし、ｌｎ１０≒２．３０というｌｎとｌｏｇの換算に必要な数値は与えられてはいません。
（この換算はどこかで必要になってくるはずです。）

問題作成者の意図がよく分かりません。
もしかしたら大学院のレベル自体に問題があるのかもしれません。

お礼

回答ありがとうございます。
>　１．問題文の中にＶｂが示されていません。
　　１．０ｍｏｌというのが１．０ｍ^3の書き間違いでしょうか。

すみません誤植でした、正確には「1molの窒素を体積1.0m3に自由膨張させる」です。
与えられているのはn=1mol, Vb=1.0m3です。

あと２．の
>　求める計算が（１０)^(0.4)ですから常用対数に向いている計算になっています。
と３．の
>　ｌｏｇｘ＝０．４を満たすｘの値を知りたいのですが
とのことですが，それぞれどういった計算の過程で出てくる項なのか教えて下さい。
対数計算は苦手なものでして…

常用対数でなく自然対数の値が与えられていることですが、これは設問の一部なので後の問題で使うものかもしれません、まだ問題を解いていないのでわかりませんが。
でもこの問題に限って言えば確かに変な話ですね；
一応，これ以降の問題を簡単に記載します。

Q2　窒素が理想気体の状態方程式に従うものとして自由膨張する過程によるエントロピー増加量を有効数字一桁で求めよ。

Q3　窒素がファンデルワールスの状態方程式に従う場合，Maxwellの関係式（dS/dV)v=(dP/dT)vを用いて，(dT/dV)U(←下付き)=-an^2/CvV＾2となることを示せ。ただし、Uは気体の内部エネルギー，Sは気体のエントロピーとする。

Q4　窒素がファンデルワールス状態方程式に従うものとして、Q3の結果を利用して上記の自由膨張する過程による温度の変化幅を有効数字一桁で求めよ。

ファンデルワールス方程式のパラメータは設問で与えれています。ちなみにこれらの問題もどう解くのかはまだよく分かっていないです；；