アルキメデスの原理の証明について。

質問

大学で物理を勉強しています。
課題に「アルキメデスの原理を証明せよ」
というものがあるのですが、条件として、
p=p0+ρ0gz （pは流体の圧力）
とガウスの定理を使えとあります。

p0が何を指すのかがわかりません？　p0＝大気圧？
また、このp0を流体の表面積で積分すると、0になるみたいなのですが、どうやって示したらいいでしょうか？
いろいろ調べてみたのですが、どのサイトでも
p=ρ0gzとして計算してあるので、困っています。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

図が無いと説明しにくいのですが、閉曲面上の
微小面積のz方向(垂直方向)の有効面積を
dSz とすると、これを閉曲面上全体で
足し合わせると(∫dSz)、対応する表と裏がかならず
有るので 0 になります。

なので ∫p0 dSz も 0 になります。
∫p0 dSx, ∫p0 dSy も同様です。

また、先にガウスの定理を適用すると

浮力を表すのは、Z軸方向の圧力の有効成分を面積分すればよいので
Fz = ρg∫(0, 0, z + p/(ρg))・dS (dS は物体表面の微小面積ベクトル)
をガウスの発散定理で変形すると
Fz = ρg∫∇・(0, 0, z + p0/(ρg))・dV (dV は物体の微小体積)
Fz = ρg∫dV = ρgV

となるので、p0 は変化しないので編微分で消えてしまいます。

以上です。

お礼

まさに求めていた内容でした。手元の図とtknakamuri様の文章を比較しながら見たところ、よく理解できました。
丁寧に説明していただきありがとうございます。