アルキメデスの原理について（高校の教科書)

質問

高校の教科書でアルキメデスの原理を説明しています。液中に直方体の物体が浮いている図が載っています。
その下の面にかかる力について質問します。

密度 d の液体の中に物体があり、液面から物体の深さが h 、物体の高さが l 、上下の面の面積は S です。
大気圧は p 、重力加速度の大きさは g です。
このとき下面に働く力の大きさは dS(h+l)g+pS だと思います。

最初、下の面に働く力がなぜ +pS なんだ、と思いましたが、上からかかる力と作用・反作用の関係で考えているのかな、と思いました。そうやって考えていくと、dSh+dS は納得がいきました。でも、+dSl がわかりませんでした。
その部分は物体があり、液体があるわけではありません。
どう考えればよいでしょうか？　的外れな考えかもしれませんが、教えて下さい。

回答No.3

matelin · ベストアンサー

こんばんは。
　あなたの疑問を解決するには、まず、次のパスカルの原理を理解しておく必要があります。
　「密閉した容器内で静止している液体がある。その液体の１点で圧力を増加させると、その液体内のすべての点で、同じ大きさの圧力の増加が生じる。」
　この原理を説明するために、水鉄砲を例にとりましょう。水鉄砲では、水を入れた筒に棒を押し込むと、筒の先端に開けた穴から、水が飛び出します。このとき、筒の側面にも穴をあけておくと、その側面の穴からも、水が飛び出します。この現象から、押しこんだ棒が液体の一部に加えた圧力増加が、先端の穴でも、側面の穴でも、生じていることが分かります。その圧力増加が穴から水を飛び出されたのです。特に側面の穴では、押し込んだ棒が加えた圧力の方向とは違う方向に、圧力が増えていることに注意してください。このように、密閉した液体の一部に加えた圧力は、その液体のすべての部分に、あらゆる方向に伝わることになります。
　容器に入れた水の表面に、大気が加える圧力についても、上のパスカルの原理を用いて考えることができます。この水は、密閉されてはいませんが、水の表面に重さが無視できるほどの軽い板を置いてあると考えると、密閉された状態であると見なすことができます。大気はその薄い板の上から、自分の重力を用いて圧力を加えています。これが大気圧Pです。その大気圧Pは、容器の中の水のすべての部分に、圧力増加をもたらします。物体下面の付近の水にもその圧力増加が伝わるので、その水が物体下面を鉛直上方に押す水圧がPだけ増えるのです。これが、あなたの言う「+PS」の理由です。
次に、「dg(h+l)S」（←あなたの書き込みにはｇが抜けています）について説明します。
大気圧を無視するならば、水深がｈのところでの水圧は、dgh　になることは、わかると思います。
長さがｈの水柱の重さが、その水柱の底に圧力として加わると考えればよいのです。
しかし、水は液体ですから、この水圧は、連続している水を伝わって、あらゆる場所に、またあらゆる方向に、伝わることを忘れてはいけません。
物体の高さ ｌ の部分については、その物体の横にある水のところで考えると、物体下面の高さにおける、物体の横にある水の水圧は、dg(h+l)　になります。この圧力が、連続している水を伝わって、物体下面を上むきに押す水圧になると考えられます。
　図を書いて説明できれば、もっとわかりやすく説明できるのですが、言葉だけでは、なかなか説明が難しいです。
そこのところ汲み取っていただければありがたいです。

お礼

どうもありがとうございました！　すっかり納得できました。丁寧に解説して下さって感謝しています。もう誰も見てくれてないかな、と確認しに来たところでしたのでうれしいです。圧力はいろんな方向に働いている、と言われてみればそうですね。回答者さんの解説を読んだ後、教科書を見たら、深さによって矢印の大きさを変えた圧力を表す図が目に入りました。同じ深さでは横からも、下からも矢印の大きさが同じです。説明されると、なるほどでした。これまで意識していませんでした。

回答No.2

MicroK2O

#1です。
物体の、液面より上の高さがl、液面より下がhでいいのですよね。
先程の回答でご理解頂けていない様なので補足です。
物体下面方向には物体自体の重力と物体上面積にかかる大気圧が
合力となります。
水の上に出ていようが沈んでいようが関係ありません。
但し浮力のかかる範囲は物体が液体を押しのけている体積分、
つまり体積Shの液体の重さ分だけ物体に浮力が働きます。

多分浮力計算と物体下面にかかる力を混同されているのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございます。教科書では、上面にかかる力と下面にかかる力を求めて、それを使って浮力を出していたので、かかる力を出す段階では違うアプローチでしているのだと思っていました。でも、確かに最初から浮力を考慮すれば理解できる感じです…。教科書のやり方だと物体が無かったように、液体の深さのみでその位置での圧力を求めて利用しているんです。（実際は大気圧は無視していました。）物体が無かったら、という仮定して考えるという方法なのかな…。その深さでの圧力、という感じで。

回答No.1

MicroK2O

h+lで物体の全長であってますか？
この場合第一項のdS(h+l)は物体全体の質量で
それにgを掛けたものが物体の重力になります。
それに加えて物体上面には大気圧がかかりますから
第二項のpSが加わっています。
この二つの力の和が下面に働く力となります。

補足

物体の高さは l で、その上の液体部分が、h です。物体は、上面が深さ h のところまで沈んでいます。