物理の力学、熱力学の問題です

質問

物理の力学、熱力学の問題です。
　実際にある試験に出題された問題です。

　(問題)

液体や気体のように決まった形を持たず、力を加えると自由に変形する流体の性質について、次の記述の中で間違っているものを選べ。

　(選択肢)

(1)重力下の静止流体において、その流体を縮まない流体と仮定すると、その密度は位置によらず一定となる。また、その流体の底から鉛直上方への高さzを変数とするとき、その流体内のある点の圧力Pの変化率 dP/dz は z とともに減少する。

　　(2)大気は縮む流体であり、その密度は地表からの高度zに依存する。大気の温度がzによらず一定で、しかも、大気に関しボイルの法則が成立するならば、大気圧Pはzに対して指数関数的に減少する形で表される。

　(解答)

(1)

以上です。

　私は、(1)では大気圧のケースととらえ、「その密度は位置によらず一定」であった場合、高度zが上昇すると、その上方の大気層の重量が減少するから dP/dzは減少するが、zは増加するから(1)は誤りとしたのですが、考え方は合ってますでしょうか？また、「重力下の静止流体において、その流体を縮まない流体と仮定すると、その密度は位置によらず一定となる」のですか？

　さらに(2)で、選択肢の条件下であった場合、なぜ指数関数的に減少される式で表せるのでしょうか？

　分かる方おられましたら、教えてください。

　よろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

(1)の文中の「 dP/dz は z とともに減少する。」が間違っています。「dP/dz はzによらず一定」です。

「縮まない流体と仮定すると、その密度は位置によらず一定となる」
密度が条件によらず一定というのは、非圧縮性流体（縮まない流体）の『定義』です。

＞さらに(2)で、選択肢の条件下であった場合、なぜ指数関数的に減少される式で表せるのでしょうか？
ある高度zでの圧力Ｐは、zより上にある流体にかかる重力で決まっているわけです。
高度zでの大気圧をP(z)、高度zでの流体の密度をρ(z)とすれば、
P(z) = ∫_[z→∞] ρ(ξ)g dξ　…※
です。（gは重力加速度）
で、ボイルの法則より、P(z)/ρ(z)＝α=一定 です。
つまり、ρ(z) = α×P(z)
これを、※に代入して、両辺zで微分すれば、
dP/dz = -α×P(z)
となって、P(z) ∝ exp(-αz) と分かります。

お礼

回答ありがとうございます。

　(1)は密度ρは高度zの関数ではなく定数として扱い、(2)では密度ρは高度zの関数として扱うところが異なっていたのですね。問題文をよく読んだつもりだったのですが・・・すみません

　ようやく解けました。

　ありがとうございます。

　また、よろしくです。