アルキメデスは何故 球＝円柱－円錐に気づいたのか？

質問

アルキメデスさんが球の体積を　円柱－円錐で求めたって書いてあるものが多い（本やネット）ですが、
どうして気づいたんでしょうか？

よほど　知りたかっただからでしょうか？
何年くらい考えたんだろう？どんな考え方をしてたどり着いたんでしょうか？
好奇心がある上に、奴隷が身の回りをやってくれる時代だったから明けても暮れても思考してたのでしょうね。もちろん、ロジカルな考え方も備わっていたと思いますが。

以前　息子が小六だった時に、球の体積の出し方を
アルキメデスさんの方法を使って教えたことをふと思い出しました。
（家の中を整理していたら、当時のメモ書きが出てきました。）
厳密性には欠けますが、
ピタゴラスさんの定理（図形で証明）とカヴァリエリさんの原理（これは感覚的に）で小６でも
理解できてました。
で、球の体積を求めるところで　いきなり　円柱－円錐を教えちゃったのは　考える力を育まなかったのかなーと思うこの頃です・・・。

回答No.7

178-tall · ベストアンサー

>多角形で近似してゆくのはどこぞの大学入試問題でも出ていましたね。

「πの値は、日常生活では3.14でほとんど間に合う」わけで、今や「大学入試」のネタにしかならぬようで…。
入試のネタか否かどうかは知りませんが、逆三角関数を求める手法としても、「角細分化」していくアルキメデスの手法は有力。

今どきはコンピュータを酷使すれば、テーラー展開なんぞ朝飯前。
しかしスプレッドシートで真似をしても、暇つぶしとはいえ、ちっとも収束してくれず、途中でギブアップするのが関の山。

それに比べ、アルキメデスの「角細分化」だと、半角公式や 4 分の 1 角公式を使う開平の勘定だけで、着実に収束してくれ、ものごとの本質を突いたアルキメデス流の凄さを、今さらながら実感できます。

回答No.6

kabaokaba

>このころ　無限って概念はあったんでしょうか？
>「無理数がよくないもの」って考えていたようなので、無限もわかっていたのかも・・。

「比」が全てという考え方はあったようですね
無限については，すくなくともユークリッドは認識してます．
（素数が無限にあることの証明なんかがあるくらいだから）
認識した上で避けてた印象を原論からは感じます．

アルキメデス（とそしてそれよりも前の人）も
きっと無限は認識していたと思います
すくなくとも円周率の計算とかみるかぎりはそう思います

ここらへんは実際は数学史の本とか調べないと
わっかんないですけどねー

お礼

何度も、ありがとうございます。

ユークリッドですね。メモメモ
アルキメデスとどちらが先人なのか？も知っておりません。

近代以前の数学史の本を、この秋に読んでみます。

回答No.5

kabaokaba

まるかぶりだ・・・orz・・・

No.4より

回答No.4

kabaokaba

>でも、紀元前に積分なかったし。ｏ ○
>
>もしかして、アルキメデスさんは積分が頭の中で気付いていたのカモですね！

勘違いしてる？

積分という概念はニュートンやライプニッツよりも
ずっと前から（おそらく微分よりもずっと古い）存在してて
アルキメデスも実質的に積分と同じ計算をしてるのはよく知られてます.
アルキメデスによる放物線で囲まれた領域の求積なんかは有名だし
これは今でいうところの区分求積そのもの
ニュートン・ライプニッツは
まったく別の概念である
微分と積分が逆演算であることを導出して
これによって演算が飛躍的に簡略化されたのです．

で質問の

2πr^3 - (1/3)πr^2(2r) = (4/3)πr^3・・・(1)

の計算そのものは・・・実は比較的簡単に見つけられます．
実際に「容器」を作ってしまうという荒業です．
体積は水の重さで表現できますし
アルキメデスの有名な話に，「王冠の話」があるので
それほど突飛な話ではないでしょうし，
実際に体積を教える教師用の教材に
円錐・円柱・球の形の容器があって水で体積を比較できるものがあります．
＃球を作るのは面倒でも「半球のボール」は比較的容易

理論的には，まさに区分求積的に(1)の式は計算できます．

円柱・円錐・球を垂直軸に垂直な面（水平面）で切断して
その切断面の面積を計算すると
三平方の定理を使って
(1)の両辺をrで割った式に近いもの
(円柱の断面積)-(円錐の断面積)=(球の断面積)
がでてくるのが簡単に分かります
あとはこれに微小な高さを掛けて足し合わせるだけです
（ここが区分求積，カバリエリでももちろんいいけどアルキメデスがカバリエリの原理を
意識していたかは・・・たぶんしてないように思う）.
そして，アルキメデスは区分求積をしっていたので
理論的にも導出できます

お礼

ありがとうございます。

細分化して面積を求めるのアルキメデスさんやってますね。
確かに、積分に近い概念ですね。
このころ　無限って概念はあったんでしょうか？
「無理数がよくないもの」って考えていたようなので、無限もわかっていたのかも・・。

> 実際に体積を教える教師用の教材に
> 円錐・円柱・球の形の容器があって水で体積を比較できるものがあります．
実物は見たことありませんが、ネットで見たことあります。
錐と柱の教材もあって、1/3が測定できるようですね。

でも教材では、（おそらく）
「円錐と円柱から球の体積が求められそう」って生徒？児童？が考える過程はなくて、
「この組み合わせで求められちゃう」って指導するのではと思っちゃいます。

式(1)が求まっていれば、両辺をrで割るなんてこともできますが、
式(1)がわかっていない時点で、両辺をrで割ることはできませんし。

でも、アルキメデスさんの直感はすごかったのかもしれません。

補足

寝ぼけてました。

それぞれの断面式は導出できるので、後は組み合わせだけですね。
円周率がかかわるものだけで組み合わせることになりますので
組み合わせはそんなに多くないですね。

式を導出し、水を使っても確認をしたのでしょうかね？

ロジカルに求まりますね。
（模型に水で　気づいたわけではなさそうですね。）

ありがとうございました。

回答No.3

Ae610

別にアルキメデスとは関係ないのだが・・・・、
当方、只の盆暗爺ではあるが・・・、

球の体積を表現する定積分
2π∫[0→r]{r^2－x^2}dx
・・・の計算から、
[半径rの球の体積] = [半径rで高さ2rの円柱の体積]－[半径rで高さ2rの円錐の体積]
・・・と見る事が出来るんだなぁ！？
・・・などと推測したりとかする事はあったりする・・・！
(横レスで下らないと思われたらばご容赦・・・！)

お礼

ありがとうございます。

でも、紀元前に積分なかったし。ｏ ○

もしかして、アルキメデスさんは積分が頭の中で気付いていたのカモですね！

回答No.2

178-tall

>アルキメデスは、スライス寸法から「円周率」を勘定してみせてますから、手馴れていたようです。

これは、前回引用には書かれてなかったようで…。

下記参考 URL (これも既読？)
　　↓
>２、アルキメデスの功績
>　2. 円周率

正多角形の角数をどんどん増やしていくアプローチ。
このアイデアを借用すれば、スプレッドシートでも「逆正弦」などの角度を勘定させることが可能。
(勿論、シート関数で求めるのが最簡ですけど…)

参考URL：

http://www.koshigaya.bunkyo.ac.jp/shiraish/sansuu00/15/shiryou15.htm

お礼

またまた、ありがとうございます。

このサイトの表記（３の七分の一乗　に見えてしまう）が馴染めなくて。

多角形で近似してゆくのはどこぞの大学入試問題でも出ていましたね。

当方、アルキメデスさんがどんな思考回路を持っていたのか？知りたくて。
アルキメデスさんは、天才肌（と言うか天才そのもの？）で、そんなに時間を掛けなくても
球と円柱と円錐の関係性を気付いたのかもしれませんね。

コロンブスの卵ではありませんが、後からは理解するだけでいいですが、最初は
自分で見つけなければならないので、感性がものを言うんでしょうね。
そんな人の頭の中は、私では理解できないとわかってきました。

回答No.1

178-tall

参考 URL から。
　　↓
すべてがアルキメデスの証明・そのものか否か、今となっては断言できぬようですが、
　重量実測による現物検証
　スライス面積の勘定による数理検証
を実施したといいます。

アルキメデスは、スライス寸法から「円周率」を勘定してみせてますから、手馴れていたようです。

参考URL：

http://www.rd.mmtr.or.jp/~bunryu/kyuu.htm

お礼

ありがとうございます。

このページ読んでました。
（アルキメデスが実在していてかはわかりませんが）
道具も作成してるので、手先は器用と思います。
なので、模型を作成し　いろいろとやっていたと思うのですが、
その「いろいろ」を知りたくて。

球の体積を求めたいと思いついて、１週間で　円柱と円錐の差に気づいたのでしょうか？
期間はわからないにしても、どうやって　そこに至ったのか？

円周率が絡みそうな立体を対象にして、最初から　円柱、円錐に絞って居たのかもしれませんね。

墓の図形も　伝説かもですね。