確率（システムの直列と並列）の問題です。

質問

システムS_1,S_2の寿命X_1,X_2は確率変数であって、それぞれ独立に指数分布Ex(λ)にしたがっている。
i)S_1,S_2が並列に結合されている全体システムの寿命ｙの分布関数F_y(y)を求めよ。
ii)、同じく、直列の場合はどうか。

という問題です。答えを見ると、
i)F_y(y)=P(Y≦y)=(1-exp(-λy))^2
ii)F_y(y)=1-P(Y＞y)=1-exp(-2λy)
となるようなのですが、恥ずかしながらどうしてこうなるのかさっぱり分かりません。そこで、
(1)なぜi)はF_y(y)=P(Y≦y)、ii)はF_y(y)=1-P(Y＞y)と式展開するのか。また、その後の式展開はどうなるのか。
(2)なぜYを区間Y≦yと区間Y＞yと分けるのか。Y＜yとY≧yという風に区間を区切ってはいけないのか。
という2点について教えていただきたいです。

回答No.3

reiman

最後の方でx,y,zの変数にコピペによる書き間違いがあったようです

h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
p:X1,X2の確率密度関数:p(x)=λ・e^(-λ・x)・h(x)
P:X1,X2の確率分布関数:P(x)=∫[u<x]du・p(u)
Y:min(X1,X2)の確率変数:直列システム
Z:max(X1,X2)の確率変数:並列システム
Q:Y=min(X1,X2)の確率分布関数
R:Z=max(X1,X2)の確率分布関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫dudv:∫du・∫dv=∫[-∞,∞]du・∫[-∞,∞]dv

とすると

P(x)=∫[u<x]du・p(u)=∫du・p(u)・h(x-u)=(1-e^(-λ・x))・h(x)
Q(y)=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(y-min(x1,x2))
R(z)=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(z-max(x1,x2))
h(y-min(x1,x2))=1-(1-h(y-x1))・(1-h(y-x2))
h(z-max(x1,x2))=h(z-x1)・h(z-x2)

よって

Q(y)
=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(y-min(x1,x2))
=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・(1-(1-h(y-x1))・(1-h(y-x2)))
=1-∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・(1-h(y-x1))・(1-h(y-x2))
=1-∫dx1・p(x1)・(1-h(y-x1))・∫dx2・p(x2)・(1-h(y-x2))
=1-(1-∫dx1・p(x1)・h(y-x1))・(1-∫dx2・p(x2)・h(y-x2))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^2
=1-(1-P(y))^2
=P(y)・(2-P(y))
=(1-e^(-λ・y))・h(y)・(2-(1-e^(-λ・y))・h(y))
=(1-e^(-λ・y))・(2・h(y)-(1-e^(-λ・y))・(h(y))^2)
=(1-e^(-λ・y))・(2・h(y)-(1-e^(-λ・y))・h(y))
=(1-e^(-λ・y))・(2-(1-e^(-λ・y)))・h(y)
=(1-e^(-λ・y))・(1+e^(-λ・y))・h(y)
=(1-e^(-2・λ・y))・h(y)

R(z)
=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(z-max(x1,x2))
=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(z-x1)・h(z-x2)
=(∫dx1・p(x1)・h(z-x1))・(∫dx2・p(x2)・h(z-x2))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^2
=(P(z))^2
=(1-e^(-λ・z))^2・(h(z))^2
=(1-e^(-λ・z))^2・h(z)

回答No.2

reiman

いつもの書き間違い有り
確率布度関数→確率分布関数

h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
p:X1,X2の確率密度関数:p(x)=λ・e^(-λ・x)・h(x)
P:X1,X2の確率分布関数:P(x)=∫[u<x]du・p(u)
Y:min(X1,X2)の確率変数:直列システム
Z:max(X1,X2)の確率変数:並列システム
Q:Y=min(X1,X2)の確率分布関数
R:Z=max(X1,X2)の確率分布関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫dudv:∫du・∫dv=∫[-∞,∞]du・∫[-∞,∞]dv
とすると

P(x)=∫[u<x]du・p(u)=∫du・p(u)・h(x-u)=(1-e^(-λ・x))・h(x)
Q(y)=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(y-min(x1,x2))
R(z)=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(z-max(x1,x2))
h(y-min(x1,x2))=1-(1-h(y-x1))・(1-h(y-x2))
h(z-max(x1,x2))=h(z-x1)・h(z-x2)
よって

Q(y)
=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(y-min(x1,x2))
=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・(1-(1-h(y-x1))・(1-h(y-x2)))
=1-∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・(1-h(y-x1))・(1-h(y-x2))
=1-∫dx1・p(x1)・(1-h(y-x1))・∫dx2・p(x2)・(1-h(y-x2))
=1-(1-∫dx1・p(x1)・h(y-x1))・(1-∫dx2・p(x2)・h(y-x2))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^2
=1-(1-P(y))^2
=P(y)・(2-P(y))
=(1-e^(-λ・x))・h(x)・(2-(1-e^(-λ・x))・h(x))
=(1-e^(-λ・x))・(2・h(x)-(1-e^(-λ・x))・(h(x))^2)
=(1-e^(-λ・x))・(2・h(x)-(1-e^(-λ・x))・h(x))
=(1-e^(-λ・x))・(2-(1-e^(-λ・x)))・h(x)
=(1-e^(-λ・x))・(1+e^(-λ・x))・h(x)
=(1-e^(-2・λ・x))・h(x)

R(z)
=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(z-max(x1,x2))
=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(z-x1)・h(z-x2)
=(∫dx1・p(x1)・h(z-x1))・(∫dx2・p(x2)・h(z-x2))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^2
=(P(z))^2
=(1-e^(-λ・x))^2・(h(x))^2
=(1-e^(-λ・x))^2・h(x)

回答No.1

reiman

h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2)の確率変数:直列システム
Z:max(X1,X2)の確率変数:並列システム
p:X1,X2の確率密度関数:p(x)=λ・e^(-λ・x)・h(x)
P:X1,X2の確率分布関数:P(x)=∫[u<x]du・p(u)
Q:Y=min(X1,X2)の確率布度関数
R:Z=max(X1,X2)の確率布度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫dudv=∫du・∫dv=∫[-∞,∞]du・∫[-∞,∞]dv
とすると

P(x)=∫[u<x]du・p(u)=∫du・p(u)・h(x-u)=(1-e^(-λ・x))・h(x)
Q(y)=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(y-min(x1,x2))
R(z)=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(z-max(x1,x2))
h(y-min(x1,x2))=1-(1-h(y-x1))・(1-h(y-x2))
h(z-max(x1,x2))=h(z-x1)・h(z-x2)
よって

Q(y)
=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(y-min(x1,x2))
=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・(1-(1-h(y-x1))・(1-h(y-x2)))
=1-∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・(1-h(y-x1))・(1-h(y-x2))
=1-∫dx1・p(x1)・(1-h(y-x1))・∫dx2・p(x2)・(1-h(y-x2))
=1-(1-∫dx1・p(x1)・h(y-x1))・(1-∫dx2・p(x2)・h(y-x2))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^2
=1-(1-P(y))^2
=P(y)・(2-P(y))
=(1-e^(-λ・x))・h(x)・(2-(1-e^(-λ・x))・h(x))
=(1-e^(-λ・x))・(2・h(x)-(1-e^(-λ・x))・(h(x))^2)
=(1-e^(-λ・x))・(2・h(x)-(1-e^(-λ・x))・h(x))
=(1-e^(-λ・x))・(2-(1-e^(-λ・x)))・h(x)
=(1-e^(-λ・x))・(1+e^(-λ・x))・h(x)
=(1-e^(-2・λ・x))・h(x)

R(z)
=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(z-max(x1,x2))
=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(z-x1)・h(z-x2)
=(∫dx1・p(x1)・h(z-x1))・(∫dx2・p(x2)・h(z-x2))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^2
=(P(z))^2
=(1-e^(-λ・x))^2・(h(x))^2
=(1-e^(-λ・x))^2・h(x)