正規分布の導出

質問

教科書の重積分がわからなくて、質問しました。
二項分布の式を確率変数rの関数とみなして、f(r)としその対数を考えます。
logf(r)=log nCr p^r q^(n-r)　この式から、スターリング近似し、
logf(r)を平均ｍの近くで２次までのテイラー展開をし、m=np,npq=σ^2から、
f(r)≒f(m)exp{-(r-m^2)/(2σ^2)}。
指数関数の前のf(m)を決めるために、次の関数の積分を考えます。
I=∫(-∞→∞)exp(-x^2)dx=2∫(0→∞)exp(-x^2)dx
変数ｘをuvに置き換えて、I=2∫(0→∞)exp(-u^2v^2)vdu、
さらにxを単純にvに置き換えただけのIと掛け合わせると、
I^2=4∫(0→∞)∫(0→∞)exp{-(1+u^2)v^2)}vdvdu、
ここでv^2をsとおくと、I^2=4∫(0→∞)∫(0→∞)exp{-(1+u^2)s)}1/2dsdu。ここからがわからない箇所です。わかりづらい書き方ですいませんが、[x](2→3)を3-2と書くとすると、
I^2=2∫(0→∞)[-exp(1+u^2)s/(1+u^2)](0→∞)duになります。使う公式や、計算を教えてください。
自分では[-exp{-(1+u^2)s}/(1+u^2)](0→∞)と-がついてしまいます。どなたか教科書のような計算方法を教えてください。

回答No.1

info222_

>I=∫(-∞→∞)exp(-x^2)dx
この積分のやり方としては、先人によって見出された定番のやり方があります。
こ例外のやり方は無理でしょう。

I=∫(-∞→∞)exp(-x^2)dx >0
=2∫(0→∞)exp(-x^2)dx
I^2={2∫(0→∞)exp(-x^2)dx}{2∫(0→∞)exp(-y^2)dy}
=4∫(0→∞) dx∫(0→∞) dy {exp(-x^2-y^2) }
x=r cosθ, y=r sinθとおいて置換積分する
{(x,y):0≦x<∞, 0≦y<∞} ⇒ {(r,θ)|0≦r<∞, 0≦θ≦π/2}
dxdy=|J|drdθ=r drdθ
より
I^2=4 ∫(0→π/2) ∫(0→∞) exp(-r^2) r drdθ
=4 {∫(0→π/2) dθ} {∫(0→∞) r exp(-r^2) dr }
=4{[θ](0→π/2)}{[-(1/2)exp(-r^2)](0→∞)}
=4(π/2){exp(0)-0}/2
=π
I>0なので
I=√π
と求まります。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。