正規分布の面積の解析的な求め方

質問

標準正規分布の確率密度関数
f(z)＝(1/√2π)・exp[-z^2/2]の
区間[0,u]の間の面積p(u)を求めるのに
{p(u)}^2＝(1/2π)∫[ 0 to u]∫[ 0 to u]
exp[-(x^2+y^2)/2]dxdy
としてr^2＝x^2＋y^2の変数変換をし
{p(u)}^2＝(1/2π)∫[ 0 to √2u]∫[ 0 to π/2]
exp[-r^2/2]rdrdθ
＝(1/4)[1-exp(-u^2)]
より
p(u)＝(1/2)√[1-exp(-u^2)]
と考えて計算したのですが，例えばこの結果でp(1)を
計算するとp(1)≒0.3975
となります．ところが，正規分布表を見ると
p(1)＝0.3413
なのです．
何故なのでしょうか？この解析計算のどこかおかしいでしょうか？

回答No.1

noname#108554 · ベストアンサー

>r^2＝x^2＋y^2の変数変換

は、対象領域が円であることを想定してますが、
もとの積分は[0,u]×[0,u]の正方形ですから
厳密に一致することはありません。

しかし、u→∞で、p(u)→(1/2)√[1-exp(-u^2)]となることは言えます。

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。
なるほど！そこに欠点があったのですね！

補足

では，この積分p(u)はどのように計算すれば求めれますか？

回答No.3

noname#108554

>証明というのは解析的に求める事が不可能である事の証明という意味ですか？
>つまり，例えばシンプソンの公式などを用いて数値的に求めるしかないという意味ですか？

そうです。そのための正規分布表ですから。

お礼

補足回答ありがとうございました！ただ計算が便利になるだけのものだと思っていましたが，それで正規分布表があるんですね．あれがないと式だけじゃ計算ができなかったんですね！なるほどです．不可能性の証明ということに関してはフェルマーの最終定理や５次以上の方程式を代数的に解く事ができないというのしか知らなかったですが，その証明も何ページかに渡る難しそうな証明だったので，正規分布のものに関しても難しいんでしょうね．

回答No.2

noname#108554

>では，この積分p(u)はどのように計算すれば求めれますか？

解析的には無理です。
証明は、95年10月号の数学セミナーにのっています。
ただし、その本質はリューヴィルの定理に帰着されてしまっているので
本当に理解したいのであれば本格的に計算機数学を勉強してもらうほかなさそうです。

お礼

補足回答ありがとうございます！

補足

証明というのは解析的に求める事が不可能である事の証明という意味ですか？
つまり，例えばシンプソンの公式などを用いて数値的に求めるしかないという意味ですか？