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eの入った不定積分
info22_の回答
#4です。 A#4の補足質問の回答 >わかったと思ったのですが、なぜ1/2が出てきて外へ出すのかわかりません。 被積分関数は e^(2x) これを公式にあてはめるには g'(x)*f'(g(x)) の形を作らないといけないことはわかりますね。 ここで g(x)=2x,f(x)=e^x,f(g(x))=f(2x)なので >g'(x)=2 …(●) >f'(x)=e^x >ですから、xの代わりにg(x)=2xを代入すれば >f'(g(x))=e^g(x)=e^(2x)…(■) >これで下準備ができた。 >積分を公式にあてはめられる形に変形します。 つまり、被積分関数をg'(x)f'(g(x))の形にすると g'(x)=2 (∵(●)より) f'(g(x)=e^(2x) (∵(■)) とします。そうすると 被積分関数は g'(x)f'(g(x))=2e^(2x) とする必要があります。 ところが、実際の被積分関数はe^(2x)だけですから、公式の2e^(2x)を作るために e^(2x)=(1/2)*2e^(2x)=(1/2)g'(x)f'(g(x)) と変形し(1/2)を前に出すのです。もともと1だったので「強制的に1=(1/2)*2としてg'(x)=2をつくりだしたために前に(1/2)をかけておくのです。 A#4にほら下の各式の後ろに説明してあるだろ。 >∫e^(2x)dx=(1/2)∫2*e^(2x) dx ←g'(x)=2を作るために(1/2)を積分の外に括り出す >=(1/2)∫g'(x)f'(g(x))dx ←2は(●)のg'(x),e^(2x)は(■)のf'(g(x))に置き換える >=(1/2)f(g(x))+C ←公式をあてはめる(不定積分なので任意定数Cを付けないと駄目ですね)
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