多項係数の和が等しくなるような整数値の順列

質問

a1,a2,a3,a4,a5,a6; b1,b2,b3,b4,b5,b6 を正の整数とします。
　a1+a2+a3+a4+a5+a6=n かつ a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=2011 ・・・・(A)　のときの多項係数の和は
　　Σn!/(a1!a2!a3!a4!a5!a6!) 　　　（Σは条件(A)での和。）
で表せます。
　ここで b1+b2+b3+b4+b5+b6=n かつ b1+2b2+3b3+4b4+5b5+6b6=S ・・・・(B) としたとき
　　Σn!/(a1!a2!a3!a4!a5!a6!) = Σn!/(b1!b2!b3!b4!b5!b6!)　　　・・・・☆　（左辺のΣは条件(A)での和。右辺のΣは条件(B)での和。）
となるようなbiの順列(b1,b2,・・・,b6)はaiの順列(a1,a2,・・・,a6)を反転させたもの（ (b1,b2,・・・,b6)=(a6,a5,・・・,a1) ）だけでしょうか。
　或いは式☆を満たしSを最小とするbiの順列はaiの順列を反転させたものと言えるでしょうか。

　実はこの質問は、既に閉められましたが下記の質問を考えているときに生じた疑問です。
http://okwave.jp/qa/q6886850.html
（「確率が０以上」の部分は　確率が0より大きい に読み替えますが。）

　サイコロをn回振ったときに出た目の合計が2011になる確率は
　　Pn=Σ(1/6)^n・n!/(a1!a2!a3!a4!a5!a6!) 　　　（Σは条件(A)での和。）
となり、対称性から (b1,b2,・・・,b6)=(a6,a5,・・・,a1) としたとき、条件(B)の下での確率がPnに等しくなることが分かり、上記のお尋ねしたことが言えれば、最小のSは 7n-2011 (336≦n≦574), 2011(575≦n≦2011) になるのではと予想しています。
（n=336,337のとき最小のSが7n-2011となることは確認しました。）

　手がかりだけでも結構です。
　優秀な回答者の皆様からお教え頂ければ幸いです。

回答No.5

hrsmmhr

代表項を用いるという意味は
第一の例の場合、(an)=(287,1,0,0,0,287)の確率はa(x→y)をその変換でxからyへ移動させる個数として
P((287,1,0,0,0,287))=Σ(1/6)^575(287Ca(1→6)(287-a(1→6))Ca(1→5)(287-a(1→6)-a(1→5))Ca(1→4)(287-a(1→6)-a(1→5)-a(1→4))Ca(1→3)(287-a(1→6)-a(1→5)-a(1→4)-a(1→3))Ca(1→2)(287-a(1→6)-a(1→5)-a(1→4)-a(1→3)-a(1→2))Ca(1→1))287Ca(6→1)(287-a(6→1))Ca(6→2)(287-a(6→1)-a(6→2))Ca(6→3)(287-a(6→1)-a(6→2)-a(6→3))Ca(6→4)(287-a(6→1)-a(6→2)-a(6→3)-a(6→4))Ca(6→5)(287-a(6→1)-a(6→2)-a(6→3)-a(6→4)-a(6→5))Ca(6→6))*a(2→*)
のように表せて（もちろん1→*の和と6→*の和、それとa2=1の移動の可能な組み合わせによる上昇、下降分の和が釣り合っている（2011を維持している）のように言えて、他の組み合わせの確率と異なると言えないかということです（ここが直感です）
｛P(287,1,0,0,00,287)=Σ(1/6)^287*287Ca(1→*)*287Ca(6→*)1C(2→*):但し5a(6→1)+4a(6→2)+3a(6→3)+2a(6→4)+1a(6→5)=5a(1→6)+4a(1→5)+3a(1→4)+2a(1→3)+1a(1→2)+4a(2→6)+3a(2→5)+2a(2→4)+1a(2→3)-1a(2→1)と書くことにします｝
ある意味和2011での確率の計算はn=575のもとで(その変換での上昇分)=(その変換での下降分)=sとして
(287個の差分和sの確率)^2*のようなイメージ(a2=1は含めてません)に置き換えていると思います。

r(l)での>>はビットシフトのつもりで書いていて(1,0,0,0,0,0)>>3=(0,0,0,1,0,0)のつもりです。
足し算は単にベクトルとして足し合わせるということです

代表項を使う意味はもしP(a1,a2,a3,a4,a5,a6)=P(n/2+m,0,0,0,0,n/2-m-1)+r(l)が(a6,a5,a4,a3,a2,a1)以外の全ての変換で異なると言えるのならn,m,lの比較でSが出てくるということです。

おそらくS=7n-2011は既に分かってらっしゃったので、私の提供した情報は、代表項を考えることで、対称変換以外の確率がイメージしやすくならないかという点だけになると思います。

回答No.4

Tacosan

実は
n < m ≦ 3.5n に対し C(n, m-1) < C(n, m) を帰納法
というのは, 「m に関する帰納法」ではありません. 「n に関する帰納法」です.

もともとは n ≦ m ≦ 6n のときのみ C(n, m) が定義されているのですが, これを外れた m では C(n, m) = 0 としてやります. すると, n ≧ 1 であれば任意の整数 m に対して C(n, m) が意味を持つ形で定義できます (m < n もしくは 6n < m なら「n個のサイコロを振って出目の和が m になる」ことはありえないので, 「0通り」と解釈できる).

そして, このように C(n, m) を拡張すると
C(n, m) = C(n-1, m-6) + C(n-1, m-5) + C(n-1, m-4) + C(n-1, m-3) + C(n-1, m-2) + C(n-1, m-1)
です.

つまり C(n, m) - C(n, m-1) = C(n-1, m-1) - C(n-1, m-7) と書け, m-1 ≦ 3.5(n-1) なら (帰納法の仮定から) 自動的に成り立ちます. 残っているのは
m ≦ 3.5n かつ m-1 > 3.5(n-1)
の場合ですが, このときも個別対応で C(n, m-1) < C(n, m) を示すことができます.

んで
・C(n, m) = C(n, 7n-m)
・n < m ≦ 3.5m のとき C(n, m-1) < C(n, m)
さえ示せれば
C(n, m) = C(n, m') なら m=m' または m+m' = 7n
と.

回答No.3

hrsmmhr

いくつか修正を

> r(l)=l>0のとき(0,1,0,0,0,0)>>(l-1)　l<0のとき(0,0,0,0,1,0)<<(1-l) l=0のときはなし、として
> 6m+l=2011-7n/2(ml>=0)のとき(an)=((n/2-m),0,0,0,0,(n/2+m))+r(l)（但しm,lは整数）
> から変換される場合の数の組み合わせの代表になり
> 6t+u=S-7n/2(tu>=0)で(bn)=((n/2-t),0,0,0,0,(n/2+t)+r(u)（但しt,uは整数）
の部分ですが
まず
r(l):l>0のとき(1,0,0,0,0,0)>>l, l=0の時はなし, l<0は定義しない
で

nが偶数のとき
m>=0,5m+l=2011-7n/2では
(an)=((n/2-m),0,0,0,0,(n/2+m-1))+r(l)
m<0,5m+l=2011-7n/2では
(an)=((n/2-m-1),0,0,0,0,(n/2+m))+r(l)
nが奇数のとき
5m+l=2011-7n/2では
(an)=((n/2-m),0,0,0,0,(n/2+m))+r(l)

で、総和Sの時も同様です

nが奇数のとき
5m+l=2011-7n/2
5t+u=S-7n/2
で、l>=0として定義したため、l=-uはl=7-uとして計算する必要があり、Sを求めると
S=14(n/2)-2011+7=7n-2011
となるようです

但しこの修正を加えた関係上
nが奇数のときになおかつ計算上l=0だったとするとr(l)で記述しなけれならない１つが記述できなくなりますので、この代表項の定義ではうまく表現できなくなります。
そのときは
m=>0の時にはa1の一つをa2に移動するとともにa6を一つ増やす
m<0の時にはa6の一つをa5に移動するとともにa1を一つ増やす
ことになり
記述上は特殊なパターンのように見えます。
しかし最後まで確認していませんが、これでも結果的には7n-2011になるように思います。

回答No.2

hrsmmhr

すみません。直感だけですが
振る回数ｎで出目の総和2011となる全ての出目出現数の組み合わせは出目を１と６に集中させたもの
例えば
(a1,a2,a3,a4,a5,a6)=(287,1,0,0,0,287)
（これはn=575の例で2011-7*287=2の2が出目2の1つから求めた）で代表できて、
１の出目を0,+1,+2,+3,+4,+5する（一つの２の出目を0,+1,+2,+3,+4する）パターンの組み合わせを上昇分
６の出目を0,-1,-2,-3,-4,-5(一つの２の出目を-1）にするパターンの組み合わせを下降分として
出目の上昇分と下降分が等しくなる場合の数（a1をa6にa6をa1に一つづつ移動させえると言った重複的な変換の場合を除いて）の総和が求める確率に相当するように思います

元の質問の解の場合ですと
(a1,a2,a3,a4,a5,a6)=(1,0,0,0,0,335)
で(b1,b2,b3,b4,b5,b6)=(335,1,0,0,0,0)とされていますが確率としては
(an)では例えば(0,1,0,0,1,334)の場合もnが同じで出目の和が2011なので
変換できる余地のない(bn)の確率と等しくならない気がします
きっと(bn)=(335,0,0,0,0,1)が最小でS=341なのだと思います

任意のnですと（以降のn/2は、奇数の時のあまりは無視します）
r(l)=l>0のとき(0,1,0,0,0,0)>>(l-1)　l<0のとき(0,0,0,0,1,0)<<(1-l) l=0のときはなし、として
6m+l=2011-7n/2(ml>=0)のとき(an)=((n/2-m),0,0,0,0,(n/2+m))+r(l)（但しm,lは整数）
から変換される場合の数の組み合わせの代表になり
6t+u=S-7n/2(tu>=0)で(bn)=((n/2-t),0,0,0,0,(n/2+t)+r(u)（但しt,uは整数）
が和がSから変換される組み合わせの代表とします

m=tならば2011-S=l-uでr(l)の入れ替えの場合が可能性としてあり
これは対照的に入れ替えることに一致します

m=tでないならm=-tでl=-uです
この場合S=14n/2-2011、つまりnが奇数の時7(n-1)-2011、偶数の時7n-2011ではないでしょうか
いずれにしても対照的に入れ替えることに相当すると思います。、

ちょっと証明に数式で書ききれてない部分がありますので直感的でしかありませんが、参考にどうぞ

お礼

ご回答ありがとうございます。
　hrsmmhrさんからもお教えいただけありがたく思います。
　ただご回答をいただいた直後から何回も読み返しているのですが私にはとても難解で、内容を理解するのに苦労しています。

　第一段落のn=575の例で、下降分として6や2の出目を1ずつ減じた分を1や2の出目を増やして出目の総和が2011を維持するようにされていると思うのですが、例えば6の出目を1減じたとき (287,1,0,0,0,287)→(286,2,0,0,1,286),(286,1,1,1,0,286) などのように1の出目も減らして他の出目を増加させて帳尻を合わせることもできるので、この段落で説明されていることがどんなことなのか理解しかねています。

　第二段落のn=336のときについては、(1,0,0,0,0,335),(0,1,0,0,1,334),(0,0,1,1,0,334),(0,0,1,0,2,333),(0,0,0,2,1,333),(0,0,0,1,3,332),(0,0,0,0,5,331) があり、S=336,337,・・・と下から組み合わせ数を勘定し、S=341で初めて一致したことから、n=336のときの最小のSはS=341だと私も考えています。

　第三段落からはもはやついて行けなくなってしまいました。
　r(l)の定義に">>","<<"という記号が使われていますが、この記号の意味が分からないでいます。
　"(0,1,0,0,0,0)>>(l-1)"や"(0,0,0,0,1,0)<<(1-l)"の意味するところはどんなことでしょうか。（ANo.3で定義の形を変えられていますが。）
　「非常の大きい」「非常に小さい」では意味が通らないようですので、いろいろと調べてみましたがそれらしいものが見つからず、文脈からも想像できず難儀しています。

　全体的な流れとしては、任意のnについて代表となる(a1,a2,a3,a4,a5,a6)から、定義された操作で条件(A)を満たすすべての(a1,a2,a3,a4,a5,a6)が生成され、それらの集合{(a1,a2,a3,a4,a5,a6)}は同様に生成された条件(B)を満たすすべての(b1,b2,b3,b4,b5,b6)を反転させた集合{(b6,b5,b4,b3,b2,b1)}と一致することを示されようとしているように思いましたが、いかがでしょうか。

　ご回答の内容が理解できていないため変な誤解をしているかもしれません。
　もしよろしければ基本的な考え方と記号についてご説明いただけないでしょうか。
　ご回答の内容を理解したいと思っています。

回答No.1

Tacosan

おっと, よく見てみたら質問そのものが意味をなさない.

Σn!/(a1!a2!a3!a4!a5!a6!) 　　　（Σは条件(A)での和。）
は, 計算してしまうと a1～a6 が消えてしまいます. なので, ☆ の式に対して「順列(a1,a2,・・・,a6)」とか「順列(b1,b2,・・・,b6)」とか書いてもナンセンスです.

ということで形を変える.
「n 個のサイコロを振って出た目の和が m」であるような組み合わせを C(n, m)通りとしましょう. これは, a1 + ... + a6 = n, 1a1 + 2a2 + ... + 6a6 = m, a1～a6 ≧ 0 であるような全ての a1～a6 に対する和
Σn!/(a1!a2!a3!a4!a5!a6!)
と一致します.

そして, この C(n, m) について
・C(n, m) = C(n, 7n-m)
・n < m ≦ 3.5n に対し C(n, m-1) < C(n, m)
です (前者は自明, 後者は帰納法).

これでいい?

お礼

ご回答ありがとうございます。Tacosanさんからお教えいただけとても嬉しいです。
　問題の設定については確かにそうですね。次のようにすれば良かったのかもしれません。

　「a1,a2,a3,a4,a5,a6; b1,b2,b3,b4,b5,b6 は非負整数で　（←ここでもミスがありました。）
　　集合A={(a1,a2,a3,a4,a5,a6)|a1+a2+a3+a4+a5+a6=n かつ a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=2011}
　　集合B(S)={(b1,b2,b3,b4,b5,b6)|b1+b2+b3+b4+b5+b6=n かつ b1+2b2+3b3+4b4+5b5+6b6=S}
とし
　　Σn!/(a1!a2!a3!a4!a5!a6!) = Σn!/(b1!b2!b3!b4!b5!b6!)　　　・・・・☆
　　（左辺は集合Aのすべての要素での和。右辺は集合B(S)のすべての要素での和。）
を満たす集合B(S)は S=7n-2011 を満たすものだけであると言えるでしょうか。」

　C(n,m)を使ってこの問題を簡潔にしたところは流石Tacosanさんと思いました。
　そしてC(n,m)がm=3.5nについて対称で、n<m≦3.5n で単調増加であると言えばいいというのはシンプルかつエレガントだと思いました。
　ただ「後者」の「n < m ≦ 3.5n に対し C(n, m-1) < C(n, m)」の証明で少し手こずっています。
　自分の考え違いで複雑にしてしまっているかもしれませんが、C(n,m-1)<C(n,m) ⇒ C(n,m)<C(n,m+1) を示すのかと思い（C(n,n)=1 < n=C(n,n+1)は済み。）
　　C(n,m)=Σ[n,m] n!/(a1!a2!a3!a4!a5!a6!) =Σ[n,m-1] n!/(a1!a2!a3!a4!a5!a6!) {a1/(a2+1)+a2/(a3+1)+a3/(a4+1)+a4/(a5+1)+a5/(a6+1)} >C(n,m-1)
　　（ただしΣ[n,m]はa1+a2+a3+a4+a5+a6=n かつ a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=m を満たすa1,a2,a3,a4,a5,a6での和。）
などと変形しなんとかならないものかと思案しているところです。

　ご回答をいただいた直後から何度も読み返しています。
　お礼はきちんと理解してからと思っていたのですが時間がまだかかりそうです。
　取り急ぎですがお礼申し上げます。