名刺順列の個数

質問

１～ｎまでの数を１列に並べるときに、ｉ番目にｉという数字が来ない順列を名刺順列とか完全順列とか言います。
このような順列の個数をA(n)とすると、
A(n)=n! * Σ_{k=0}^{n} (-1)^k / k!
であるそうです。この導出の仕方を教えて下さい。
ちなみに、A(n)に関する漸化式 A(n)=(n-1)*{A(n-1)+A(n-2)}, A(1)=0, A(2)=1は既に理解していますので、この漸化式の解き方でもいいです。
（この漸化式は１世代前の青チャートで見ました^^;）

この式を用いると、全世界の人が名刺を１枚ずつ持ち寄ってシャッフルしたとき、自分のところに自分の名刺が戻ってくる人が１人もいない確率が1/e=36.8%もあることがわかり、なかなか神秘的なのですが。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

kony0さん、こんにちは。自然対数の底がこんなところで出てくるなんて不思議ですよね。

漸化式まで立てられているのならあとは簡単です。
　A(n)=(n-1){A(n-1)+A(n-2)}　　(1)
について、A(n)=n! B(n)なる新たな数列B(n)を考えます。
　n! B(n)=(n-1){(n-1)! B(n-1)+(n-2)! B(n-2)}　　(2)
整理すると
　n(n-1) B(n)=(n-1)^2 B(n-1)+(n-1) B(n-2)　　(3)
から
　n B(n)-(n-1) B(n-1)-B(n-2)=0　　(4)
を得ます。これを2項間漸化式に持込むことを考えます。
2項間漸化式に直すと
　B(n)-B(n-1)=(-1/n){B(n-1)-B(n-2)}　　(5)
を得ます。順次、式変形すると
　B(n)-B(n-1)=(-1/n){B(n-1)-B(n-2)}=.....=(-1)^(n-2) ((2×1))/n!){B(2)-B(1)}　　(6)
となります。
また、(5)式の左辺は幸運なことに階差数列になっています。となると、単純に両辺のΣをとる一手です。
　B(k)-B(1)=Σ(-1)^(n-2) ((2×1))/n!){B(2)-B(1)}　　(7)
(両辺の和はn=2からn=kまで取る)
ここにB(2)=1/2, B(1)=0ですから
　B(k)=Σ(-1)^(n-2) (1/n!)
　　　=Σ(-1)^n (1/n!)　　(8)
と求められます。(和はn=2からn=kまで取る)

ここで(-1)^0 (1/0!)+(-1)^1 (1/1!)=0であることを使えば
　B(k)=Σ(-1)^n (1/n!)　　*和は今度は、n=0からn=kまで取る　　(9)
というスッキリした形に整理できます。
A(n)に直した式はなくてもいいですよね。

関数f(x)=exp(x)のテーラー展開を考え、x=-1を代入すると(8)と同じになります。
ですからご質問の最後の「全世界の人が名刺を・・・」の確率は1/eになるわけですね。

*計算間違いをしているかも知れません、ご自分で式をチェックしながら読んで頂ければ幸いです。

お礼

ご回答ありがとうございます。その文字置きはまったく思いつきませんでした。
本当に文字置きだけできてしまえば、あとは綺麗に解けるんですね～。

B(n)ってn個の順列のうち名刺順列になるものの確率を表しているので、立式の段階で(4)式がたてられる考え方がきっとあるはずと思います。そちらのほうは暇なときに考えてみます。この式から出発だと簡単ですしね。

ありがとうございました。