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数列(?)の問題が解けません。
この問題が解けません。どなたかアプローチを教えてください。 自然数1,2,3,……nの順列の内の一つ{a1,a2,a3,……an}を考える。 (たとえばn=6なら{5,2,3,6,1,4}など) この順列に対し、 S=1*a1 + 2*a2 + 3*a3 + ...... +n*an という和を考えたとき、 {a1,a2,a3,……an}が{1,2,3,……n}に一致したときSが最大に、 {a1,a2,a3,……an}が{n,n-1,n-2……1}に一致したときSが最小になることを示せ。 いくら考えても解き方がちっとも浮かんできません。 よろしくお願いします!
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- kabaokaba
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それほど難しいわけではないです. 次のことを証明すればいいのです. 1<=i<j<=n なるiとjに対して,ai>ajとなるaiとajが存在するとき S' = 1a1+2a2+・・・+iai+・・・+jaj+・・・+nan S''= 1a1+2a2+・・・+iaj+・・・+jai+・・・+nan とおけば,S'<S'' である つまり,大小関係が「ひっくりかえってる」ときに ひっくりかえってる部分を取り替えると「大きくなる」ということ. これさえ示せば,もともとの問題を証明したことになります. どうしてこれで最初の問題の証明に十分なのかは 自分で考えましょう.
- koko_u_u
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>どなたかアプローチを教えてください。 n = 4 に対する S をすべて求めて補足にどうぞ。
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