積分に関する問題です。

質問

∫c （x^2＋x＋1）^3/{(x-2)×(x-4)^2×（x-5）^3} dx
曲線C:|x|＝3
の時答えは0で良いのでしょうか？
x＝2、4、5で正則では無く4、5が曲線Cの外側にあるためと考えたのですが。
回答よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

複素積分では変数はxではなくz(=x+iy)と置きます。

∫c (z^2＋z＋1)^3/{(z-2)*(z-4)^2*(z-5)^3} dz
曲線C:|z|＝3

積分路Cは原点を中心とする半径3の円周上を反時計回りに一周する閉経路です。
C内にある一位の特異点はz=2のみ。
z=2における留数は
Res(2)=(z^2＋z＋1）^3/{(z-4)^2*(z-5)^3}|(z=2)=-343/108
留数定理より
∫c (z^2＋z＋1)^3/{(z-2)*(z-4)^2*(z-5)^3} dz=2πi(-343/108)=-(343/54)πi

お礼

回答ありがとうございました。
この問題書き間違えてたのですねそもそも。

回答No.1

rnakamra

特異点x=2が|x|=3で囲まれた領域内にありますのでここでの留数の分の寄与があります。

x=2での留数は0では無いのでこの積分の値は0ではない値をとります。
x=2での留数は、x=2が1位の極であることは明らかなので
lim[x→2]（x^2＋x＋1）^3/{(x-4)^2×（x-5）^3}
で得られます。

お礼

回答ありがとうございました。
留数定理はまだならっていなかったので、参考になりました。