同値変形

質問

△ABCの重心Gを通る直線が辺AB,辺ACと交わっている。この直線と辺ABとの交点をP,辺ACとの交点をQとおき,定数k,lをAP→=kAB→,AQ→=lAC→により定める。このとき,点(k,l)が描く曲線を求めよ。

という問題で私は以下のように考えました

P,Qが辺AB,辺AC上にある⇔0≦k≦1,0≦l≦1ー(1)
P,G,Qがこの順に一直線上にある⇔AG→=(1-t)kAB→+tlAC→,0≦t≦1となるtが存在するー(2)
Gが△ABCの重心である⇔AG→=(AB→+AC→)/3ー(3)

より与条件は(1)かつ(2)かつ(3)と同値

ここからさらに同値変形して行こうとしたのですが
(2)かつ(3)
⇔(AB→+AC→)/3=(1-t)kAB→+tlAC→,0≦t≦1となるtが存在する かつ (3)
⇔(1-t)k=1/3,tl=1/3,0≦t≦1となるtが存在する かつ (3)
⇔(k-1/3)(l-1/3)=1/9 かつ (3)

したがって
(1)かつ(2)かつ(3)
⇔0≦k≦1,0≦l≦1,(k-1/3)(l-1/3)=1/9 かつ (3)
グラフより
⇔(k-1/3)(l-1/3)=1/9,1/2≦k≦1 かつ (3)

となり最後まで(3)が残ってしまいました
これがどういうことなのかよく分かりません
正しく同値変形できてると思うのですが
(3)が何故残るのかお教えください
また間違ってる点があればご指摘お願いします

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞となり最後まで(3)が残ってしまいました
＞これがどういうことなのかよく分かりません

　最後まで(3)が残ったことは問題ありません。
　というよりもこのように厳密にやれば残らなければなりません。なぜなら結論「⇔(k-1/3)(l-1/3)=1/9,1/2≦k≦1 」は(3)「Gが△ABCの重心である」を前提として得られたものです。もしGが△ABCの重心でなければこのような結論は得られませんからね。

＞また間違ってる点があればご指摘お願いします

　私が気づいたものは次の1点です。
＞⇔(1-t)k=1/3,tl=1/3,0≦t≦1となるtが存在する かつ (3)
＞⇔(k-1/3)(l-1/3)=1/9 かつ (3)
　この変形でtの条件が消えてしまいました。
　(k-1/3)(l-1/3)=1/9であれば0≦t≦1であることが言えるならばそれを断った上で消しても構いませんが、この問題では言えないですよね。ですので残さなければなりません。
　ですから以下の変形では
⇔0≦k≦1,0≦l≦1,(k-1/3)(l-1/3)=1/9, 0≦t≦1かつ (3)
⇔(k-1/3)(l-1/3)=1/9,1/2≦k≦1, 0≦t≦1 かつ (3)
とし、(k-1/3)(l-1/3)=1/9,1/2≦k≦1(, 1/2≦l≦1) ならば 0≦t≦1 が成立することを断って、
⇔(k-1/3)(l-1/3)=1/9,1/2≦k≦1 かつ (3)
とした方がよいと思います。

　よろしければ参考にしてください。

お礼

ご回答ありがとうございます

なるほど！
とても丁寧で分かりやすかったです！
Gが三角形ABCの重心という前提で考えているということですか

t消去の条件引き継ぎを失念していました・・・
これは気を付けないといけませんね^^;

ありがとうございました！