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ichiro0000さん、こんにちは。Mをa倍するとM×(M×△M)はa^3倍になりますが△Mはa倍にしかなりません。したがってご質問の式は|M|^2=1 のような条件がなければ成立しないと思われます。以下ではこれを仮定します。 εijkを完全反対称テンソルとします。すなわちi,j,kはそれぞれ1から3の値をとり、 εijk = 1 ((i,j,k)が(1,2,3)の偶置換のとき) εijk = -1 ((i,j,k)が(1,2,3)の奇置換のとき) εijk = 0 ((i,j,k)の中に同じものがあるとき) とします。ベクトルの外積は (A×B)k = εijkAiBj と書けます。すると [-M×(M×△M)]k = -εijk Mi(M×△M)j = -εijk Mi(εjmn Mm△Mn) = εikjεmnj MiMm△Mn ただし2回現れる添字については1から3まで和をとるものとします。するとδijをクロネッカーのδとするとき εikjεmnj = δimδkn - δinδkm という公式を使うと [-M×(M×△M)]k = (δimδkn - δinδkm)MiMm△Mn = |M|^2 △Mk - MnMk△Mn となります。∂/∂xiを∂iと書くことにすると MnMn = 1 を微分して ∂i(MnMn) = 2(∂iMn)Mn = 0 ∂i∂i(MnMn) = 2(∂i∂iMn)Mn + 2(∂iMn)(∂iMn) = 0 だから Mn△Mn = -|∇M|^2 よって [-M×(M×△M)]k = △Mk + |∇M|^2Mk
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